金陵中学高三数学阶段性测试卷

金陵中学2006届高三数学阶段性测试卷

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2006.1.3

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1)若集合P＝{x｜x＝3m＋1，m∈N^*}，Q＝{y｜y＝5n＋2，n∈N^*}，则P∩Q＝　 　　　　 (　B　)

A.{x｜x＝15k－7，k∈N^*}　　　　　　　　　　 B.{x｜x＝15k－8，k∈N^*}

C.{x｜x＝15k＋8，k∈N^*}　　　　　 　　　　　D.{x｜x＝15k＋7，k∈N^*}

(2)已知tan160^o＝a，则sin2000^o的值是　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　 (　A　)

A.　　　　　  B.－　　　　　　 C.　　　　　　　D.－

(3)等差数列{a_n}中，若a₁＋a₄＋a₇＝39，a₃＋a₆＋a₉＝27，则前9项的和S₉等于 　　　　　 (　B　)

A.66　　　　　　　　 B.99　　　　　　　　  C.144　　　　　　　　  D.297

(4)已知函数f(x)＝log₂(x²－2ax＋4－3a)的值域为实数集R，则实数a的取值范围是　　　　 (　C  )

A.(－∞，－4)(1，∞)　B.[－4，1]　　　　　  C.(－∞，－4][1，∞)　D.(－4，1)

(5)设函数f(x)＝1－x²＋log(x－1)，则下列说法正确的是　　 　　　　　　　　　　　　　 (　D　)

A.f(x)是增函数，没有最大值，有最小值　 　　 B.f(x)是增函数，没有最大值、最小值

C.f(x)是减函数，有最大值，没有最小值　　　　D.f(x)是减函数，没有最大值、最小值

 (6)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1＋k，2＋k－k²)，若a⊥b，则实数k为　　　　　　　　  (　B　)

A.－1　　　　　　　　  B.0　　　　　　　　  C.－1或0　　 　　　　 D.－1或4

(7)设函数y＝f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，若对于任意的正数a，函数g(x)＝f(x＋a)－f(x)都是其定义域上的减函数，则函数y＝f(x)的图象可能是　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　C　)

　 　　 A　　　　　  　　　B　　　　　　　　　　 C　　　 　　　　　 D

(8)在直角坐标系中，函数y＝－2的图像关于直线y＝x的对称曲线为　　　　  (　D　)

(9)已知定义在实数集上的函数满足f (x＋1)＝＋2，则f ^－1(x＋1)的表达式是　　　　 (　B　)

A.2x－2　　 　　　　　B.2x－1　　　 　　　 C.2x＋2　　　　　　　 D.2x＋1

(10)已知函数f(x)＝x²＋ax＋b，且对任意实数x都有f(x)＝f(－m－x)，其中m∈(0，2)，那么(　B　)

　 A.f(－2)＜f(0)＜f(2)　　 B.f(0)＜f(－2)＜f(2)　　 C.f(0)＜f(2)＜f(－2)　　　D.f(2)＜f(0)＜f(－2)

(11) 函数y＝－sinx＋cosx在x∈[－]时的值域是　　　　　　　　　　　　　　　 (　D　)

A. [0，] 　　　　 B.[－，0]　 　　C.[0，1]　 　　 D.[0，]

(12)已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　C　)

A.7个　　　　 　　　B.8个　　　　　　　　　C.9个　　　　　　　　D.10个

二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

(13)已知命题p：不等式｜x｜＋｜x－1｜＞a的解集为R，命题q：f(x)＝－(5－2a)^x是减函数，若p，q中有且仅有一个为真命题，则实数a的取值范围是　　[1，2）　 ．

(14)计算：＝　 　　．

(15)已知f(x)＝，若函数y＝g(x)的图象与y＝f^－1(x)＋1的图象关于直线y＝x对称，则g(3)＝__7_．

(16)给出四个命题①函数y＝a^x与y＝log_ax的图象关于直线y＝x对称(a＞0，a≠1)；②函数y＝a^x与y＝()^x的图象关于y轴对称(a＞0，a≠1)；③函数y＝log_ax与logx的图象关于x轴对称(a＞0，a≠1)；④函数y＝f(x)与y＝f ^－1(x＋1)的图象关于直线y＝x＋1对称，其中正确的命题是 ③　．

三、解答题：本大题共6小题；共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)（本小题满分12分）已知定义在R上的函数f(x)＝(sinωx＋acosωx)(a∈R，0＜ω≤1)满足：f(x)＝f(－x)，f(x－π)＝f(x＋π)．

　　（I）求f(x)的解析式；

　　（II）若m²－4n＞0，m，n∈R，求证：“｜m｜＋｜n｜＜1”是“方程[f（x）]²＋mf(x)＋n＝0在区间(－，)内有两个不等的实根”的充分不必要条件．

解：（I）由f(x－π)＝f(x＋π)知f(x)＝f(x＋2π)，即函数f(x)的周期为2π．

∵　 f（x）＝（sinωx＋acosωx）＝sin（ωx＋j），其中sinj＝，cosj＝，

∴　 ≤2π，即ω≥1．又0＜ω≤1，∴　ω＝1．

又∵　 f（x）＝f（－x），∴　f（0）＝f（），

即 （sin0＋acos0）＝（sin＋acos），解得　a＝，∴ f（x）＝sin（x＋）．

(II)显然，x∈（－，）等价于x＋∈（－，）．

令u＝x＋，f(x)＝t，g(t)＝t²＋mt＋n，则f(x)＝sinu，

由｜m｜＋｜n｜＜1得｜m＋n｜≤｜m｜＋｜n｜＜1，∴ m＋n＞－1．

同理由｜m－n｜≤｜m｜＋｜n｜＜1得m－n＜1．

∴　g(1)＝m＋n＋1＞0，g(－1)＝1－m＋n＞0．

又∵｜m｜≤｜m｜＋｜n｜＜1，∴－∈（－1，1）．

又∵Δ＝m²－4n＞0，∴　一元二次方程t²＋mt＋n＝0在区间（－1，1）内有两个不等的实根．

∵　函数y＝sinu（u∈（－，））与u＝x＋（x∈（－，））都是增函数，

∴　[f(x)]²＋mf(x)＋n＝0在区间（－，）内有两个不等实根．

∴　“｜m｜＋｜n｜＜1”是“方程[f(x)]²＋mf(x)＋n＝0在区间（－，）内有两个不等实根”的充分条件．

令m＝，n＝，由于方程t²＋t＋＝0有两个不等的实根－，－，且－，－∈(－1，1)，

∴　方程sin²（x＋）＋sin（x＋）＋＝0在（－，）内有两个不等的实根，

但　　　　　　　　  ｜m｜＋｜n｜＝＋＝1，

故“｜m｜＋｜n｜＜1”不是“方程[f(x)]²＋mf(x)＋n＝0在区间（－，）内有两个不等实根”的必要条件．

综上，“｜m｜＋｜n｜＜1”是“方程[f(x)]²＋mf(x)＋n＝0在区间（－，）内有两个不等实根”的充分不必要条件．

(18)（本小题满分12分）已知函数f(x)＝a^x－2－1(a＞0，a≠1).

(I)求函数f(x)的定义域、值域；

(II)是否存在实数，使得函数f(x)满足：对于区间(2，＋∞)上使函数f(x)有意义的一切x，都有f(x)≥0.

(I)解：由4－a^x≥0,得a^x≤4．当a＞1时，x≤log_a4；当0＜a＜1时，x≥log_a4．

即当a＞1时，f(x)的定义域为(－∞，log_a4]；当0＜a＜1时，f(x)的定义域为[log_a4，＋∞)．

令t＝，则0≤t＜2，且a^x＝4－t²，∴ f(x)＝4－t²－2t－1＝－(t＋1)²＋4，

当t≥0时，f(x)是t的单调减函数，∴f(2)＜f(x)≤f(0)，即－5＜f(x)≤3，

∴ 函数f(x)的值域是(－5，3]．

(II)若存在实数a使得对于区间(2，＋∞)上使函数f(x)有意义的一切x，都有f(x)≥0，则区间(2，＋∞)是定义域的子集．由(I)知，a＞1不满足条件；若0＜a＜1，则log_a4＜2，且f(x)是x的减函数．

当x＞2时，a^x＜a²．由于0＜a²＜1，∴t＝＞，∴f(x)＜0，即f(x)≥0不成立．

综上，满足条件的a的取值范围是Æ．

(19)（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形，且PD＝a，PA＝PC＝a．

(Ⅰ)求证：直线PD⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求二面角A－PB－D的大小．

(Ⅰ)证明：∵ 在ΔPDA中，AD＝a，PD＝a，PA＝a，)

∴ AD²＋PD²＝PA²，即 PD⊥AD．同理，PD⊥CD． 　　　　　　　　(第19题)

又AD、CDÌ平面ABCD，ADCD＝D，∴ 直线PD⊥平面ABCD；

(Ⅱ)解：如图，连接AC和BD，设ACBD＝O．由(I)知AC⊥PD．

又 AC⊥BD，且PD、BDÌ平面PBD，PDBD＝D，

∴ 直线AC⊥平面PBD．

过点O作OE⊥PB，E为垂足，连接AE．

由三垂线定理知 AE⊥PB，∴ ∠AEO为二面角A－PB－D的平面角．

∵ AB⊥AD，由三垂线定理知 AB⊥PA，

∴ 在ΔPAB中，AE＝＝a，在ΔABD中，OA＝a，

在ΔAOE中，sin∠AEO＝＝＝，即 ∠AEO＝60^o，∴ 二面角A－PB－D为60^o．

(20)（本小题满分12分）

以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：

①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；

②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的倍；

③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润．

(I)分别求该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季最高价格；

(II)问：在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？

解：设在旺季销售时，羊毛衫的标价为x元/件，购买人数为kx＋b（k＜0），

则旺季的最高价格为－元/件，利润函

　　　 L（x）＝（x－100）·（kx＋b）＝kx²－（100k－b）－100b，x∈[100，－]，

当x＝＝50－ 时，L（x）最大，由题意知，50－ ＝140，解得 － ＝180，

即旺季的最高价格是180（元/件），则淡季的最高价格是180×＝120（元/件）．

现设淡季销售时，羊毛衫的标价为t元/件，购买人数为mt＋n（m＜0），

则淡季的最高价格为－＝120（元/件），即n＝－120m，

利润函数L（t）＝（t－100）·（mt＋n）＝（t－100）·（mt－120m）

　　　　　　　　  ＝－m（t－100）·（120－t），t∈[100，120]．

∴　　t－100＝120－t，即t＝110时，L（t）为最大，

∴  在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件．

(21)（本小题满分12分）

已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₂＋a₃＋a₄＝28且a₃＋2是a₂，a₄的等差中项．

（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；

（II）若b_n＝a_nloga_n，S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n，求使S_n＋n·2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

解：（I）设此等比数列为a₁，a₁q，a₁q²，a₁q³，其中a₁≠0，q≠0．

由题知

由②×7－①得　　　　6a₁q³－15a₁q²＋6a₁q＝0，

即　　　　　　　　　 2q²－5q＋2＝0，

解得　　　　　　　　　  q＝2或q＝．

∵　等比数列{a_n}单调递增，∴a₁＝2，q＝2，∴ a_n＝2·2^n-1＝2ⁿ．

（II）由（I）得　　　b_n＝a_nloga_n＝2ⁿlog2ⁿ＝－n·2ⁿ，

∴　　　　　　　　 S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n＝－（1×2＋2×2²＋3×2³＋…＋n·2ⁿ）．

设　　　　　　　　 T_n＝1×2＋2×2²＋3×2³＋…＋n·2ⁿ，　　　　　　　  ③

则　　　　　　　  2T_n＝　　　1×2²＋2×2³＋3×2⁴＋…＋n·2^n＋1，　　　　④

由③－④得　　　 －T_n＝1×2＋1×2²＋1×2³＋…＋1×2ⁿ－n·2^n＋1

　　　　　　　　　　 ＝2^n＋1－2－n·2^n＋1＝－（n－1）2^n＋1－2，

∴　　　　　　　  S_n＝－（n－1）·2^n＋1－2．

要使S_n＋n·2ⁿ⁺¹＞30成立，即要 －（n－1）·2^n＋1－2＋n·2ⁿ⁺¹＞50，

即要　　　　　　　　　　　　　 2ⁿ＞26．　　　　　　　　　　　　　　  ⑤

∵　函数y＝2^x是单调增函数，且2⁴＝16＜26，3⁵＝32＞26，

由⑤得n的最小值是5．

(22)（本小题满分14分）已知F₁(－2，0)，F₂(2，0)是椭圆C的两个焦点，过F₁的直线与椭圆C的两个交点为M，N，且MN的最小值为6．

(I)求椭圆C的方程；

(II)设A，B为椭圆C的长轴顶点．当MN取最小值时，求∠AMB的大小．

解：(Ⅰ)由题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，其中c＝2，a²－b²＝4．

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．

若直线MN⊥x轴，则MN的方程为x＝－2，代入＋＝1，得y²＝b²(1－)＝，

∴　y₁－y₂＝，即AB＝．

若直线MN不与x轴垂直，则设MN的方程为y＝k(x＋2)，代入＋＝1，

得　　　　　　　　　 ＋＝1，

即　　　　　　　  (a²k²＋b²)x²＋4a²k²x＋a²(4k²－b²)＝0．

　　　　　  △＝(4a²k²)²－4(a²k²＋b²)a²(4k²－b²)＝4a²b²[(a²－4)k²＋b²]＝4a²b⁴(1＋k²)，

∴　　　　 x₁－x₂＝，

∴　　　　MN＝·＝＝·＞．

综上，MN的最小值为．由题知　＝6，即　b²＝3a．

代入a²－b²＝4，得a²－3a－4＝0，解得a＝－1(舍)，或a＝4．∴　b²＝12．

∴　椭圆C的方程为＋＝1．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(－4，0)，B(4，0)．当MN取得最小值时，MN⊥x轴．

根据椭圆的对称性，不妨取M(－2，3)，∠AMB即直线AM到直线MB的角．

∵　AM的斜率k₁＝＝，BM的斜率k₂＝＝－，

∴　tan∠AMB＝＝＝－8．

∵　∠AMB∈(0，π)，∴　∠AMB＝π－arctan8．