高三数学（文史类）模拟检测试题
2002．6
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的积化和差公式
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。
1．已知集合
，P中至多有一个偶数，则这样的集合P共有
A．2个 B．4个 C．5个 D．6个
2．函数
的最小正周期是
A．6π B．2π
C．
D．
3．用α表示一个平面，m表示一条直线，则α内至少有一条直线与m
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
4．直线
被圆
所截的弦长为
A．
B．2 C．
D．1
5．如图，在正三棱台
中，
，D在边BC上，且
，则异面直线
所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
6．在1，2，3，4，5，6这六个数的全排列中，1，3，5从左到右是递增的，并且2，4，6从左到右是递减的排列有
A．360种 B．120种 C．40种 D．20种
7．在等差数列
中，
是数列的前n项和，已知
，则
A．-10 B．
C．
D．0
8．在△ABC中，AB=3，内切动圆切AB于D，且AD=2DB，则顶点C的轨迹是
A．双曲线 B．双曲线的一部分
C．抛物线 D．抛物线的一部分
9．某工厂产值第二年增长率为p，第三年增长率为q，第四年增长率为r，设这三年平均增长率为x，则
A．
B．
C．
D．
10．圆锥的轴截面顶角为，过顶点的截面面积最大值为4，则其侧面积是
A．24π B．8π
C．
D．
11．下列命题
①若z∈C，则
。
②若函数y=f(x+1)的图像过点（1，1），则y=f(x)的图像必过点（0，1）。
③函数
的递半区间是
（k∈Z）。
④二项式
（n∈N），对任意n∈N展开式中没有常数项。
其中正确的命题是
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
12．如图，某班共48个座位，位于坐标平面的格点上（坐标为整数的点）。班级同学每周串一次座，每次都右串一列，前串一行，其中最前一行串到最后一行，最左列串到最左列。若甲同学第一周的位置是（5，2），则第9周他的位置是（ ）
A．（5，2） B．（5，3） C．（5，4） D．（1，5）
第II卷（非选择题 共90分）
注意事项：
第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题中。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．已知
，则
的值是_____________。
14．点P在抛物线
上，P到抛物线顶点的距离与到准线的距离相等，则点P的坐标是_____________。
15．
是关于x的方程
（0<a<1）的解，则，1，a这三个数的大小关系是_____________。
16．一个球与正四面体的六条棱都相切，则正四面体的体积与球的体积之比是_____________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
设z=1+cos2α+isinα，
。
求cos(α-β)cos(α+β)的最大值。
18．（本小题满分12分）
在长方体
中，
，BE⊥AC交AD于E。
（I）求证：
；
（II）求二面角
的正切值。
19．（本小题满分12分）
已知数列满足：
（n∈N，r≠0，1）
（I）求
的值；
（II）猜想的通项公式并加以证明；
（III）是数列的前n项和，若
，求r的值。
20．（本小题满分12分）
如图，已知A（-1，0）、B（1，0），直线a的方程为x=4，动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P。
（1）试确定点P到点B的距离与点P到直线a的距离之比；
（2）若PA-PB=1，求
。
21．（本小题满分12分）
如图，一科学考察船从港口O出发，沿东偏北α角的射线OZ的方向航行，其中tgα=3。在距离港口O为
（a是正常数）海里东偏北β角的A处有一个供给科考船物资的小岛（
）。现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船。该船沿BA方向不变全速追赶科考船，并在C处相遇。经测算当两船运行的航线与海岸线OB围城的△OBC面积S最小时，补给最适宜。
（I）求S关于m的函数关系式S(m)；
（II）当m为何值时，补给最适宜。
22．（本小题满分14分）
已知二次函数
（a、b、c∈R），满足f(-1)=0，f(1)≤1，且对于任意实数x都有f(x)-x≥0。
（1）求f(1)；
（2）证明：b>0、c>0；
（3）如果函数g(x)=f(x)-kx在[0，2]上有反函数，求k的取值范围。
参考答案：
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
DCBAB DABCB AC
二、填空题：本大题共四小题，每小题四分，共16分。
13．
；
14．
；
15．
；
16．
三、解答题：本大题共六小题，共74分。
17．（本小题满分12分）
解：∵z=1+cos2α+isinα
=2cosα(cosα+isinα) 2分
∵
，
∴
∴argz=α 4分
∴2β=α 5分
8分
10分
∵
∴
∴当
即
时，
取得最大值0。 12分
18．（本小题满分12分）
（I）证明：∵
，AC是
在平面AC上的射影，
，
∴由三垂线定理知
。 3分
连接
，则
，
同理由三垂线定理知
∵
，
∴ 6分
（II）解：设
的交点为O，则
。
连接OE，则由三垂线定理知
，
∴∠AOE为二面角的平面角。 9分
设
，则
，BC=2a。
∵△ABE∽△ABC，
∴
，
∴
。
在Rt△AOE中，
12分
19．（本小题满分12分）
解：（I）当n=2时，
1分
当n=3时，
2分
当n=4时，
3分
（II）猜想
4分
下面用数学归纳法证明
①当n=1，2时，显然成立。
②假设当n=k时，猜想成立，
即
5分
则当n=k+1时，
∴当n=k+1时，猜想也成立。
由①②知对一切自然数n，
都成立。 7分
（注：若用其它方法证明正确可参考给分。）
（III）
9分
∵
∴
且r∈（-1，0）∪（0，1） 11分
整理，得 
解得
或r=2
∵
∴。
12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系。
则A（-1，0），B（1，0）。
∵l垂直平分MB， ∴PM=PB 1分
∴PA+PB=AP+PM=AM=4>AB=2 2分
∴P点轨迹为以A、B为焦点，且焦距为2，长轴长为4的椭圆。 4分
其方程为 
其中a=2，
，c=1
6分
∴它的右准线为
又∵B点到a的距离为3，
∴直线a就是椭圆的右准线。
∴
8分
（2）∵PA-PB=1，PA+PB=4
∴
，
。
9分
∴
10分
∴
11分
∴
12分
21．（本小题满分12分）
解：（I）∵tgα=3，∴直线OZ的方程为y=3x 2分
设点A的坐标为（
），
则
，
。
4分
∴A（3a，2a）又B（m，0）
故直线AB的方程为
6分
由
解得
∴
即
8分
（II）
10分
当且仅当
，
即
等号成立，
故当m为
海里时，补给最适宜。
12分
22．（本小题满分14分）
解：（1）∵对任意的x，都有f(x)≥x，∴f(1)≥1。 1分
又∵θ∈[0，2π），都有
∴当
时，有f(1)≤1
2分
∴f(1)=1 4分
（2）∵
∴
∴2(a+c)=1
∴
6分
∴
，
∴
∵f(x)-x≥0 恒成立，
即
恒成立。
7分
∴
∴
∴
9分
（3）∵
∴
∴
10分
∵
在[0，2]上有反函数，
∴g(x)在[0，2]上是单调的。 12分
∴
即2k-1≤0或2k-1≥2
∴
14分