高三数学（理工类）模拟检测试题
2002．6
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的积化和差公式
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。
1．已知集合
，P中至多有一个偶数，则这样的集合P共有
A．2个 B．4个 C．5个 D．6个
2．用α表示一个平面，m表示一条直线，则α内至少有一条直线与m
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
3．直线
被圆
（θ∈R）所截的弦长为
A．
B．2 C．
D．1
4．与正弦曲线y=sinx关于直线
对称的曲线是
A．y=sinx B．y=cosx C．y=-sinx D．y=-cosx
5．如图，在正三棱台
中，
，D在边BC上，且
，则异面直线
所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
6．在1，2，3，4，5，6这六个数的排列中，1，3，5从左到右是递增的，并且2，4，6从左到右是递减的排列有
A．360种 B．120种 C．40种 D．20种
7．在等差数列
中，
是数列的前n项和，已知
（m≠n），则
A．0 B．
C．
D．-m-n
8．在△ABC中，AB=3，内切动圆切AB于D，且AD=2DB，则顶点C的轨迹是
A．双曲线 B．双曲线的一部分
C．抛物线 D．抛物线的一部分
9．某工厂产值第二年增长率为p，第三年增长率为q，第四年增长率为r，设这三年平均增长率为x，则
A．
B．
C．
D．
10．圆锥的轴截面顶角为
，过顶点的截面面积最大值为4，则其侧面积是
A．24π B．8π
C．
D．
11．下列命题
①若z∈C，则
。
②若函数y=f(x+1)的图像过点（1，1），则y=f(x)的图像必过点（0，1）。
③函数y=cos(arcctgx)为奇函数。
④二项式
（n∈N），对任意n∈N展开式中没有常数项。
其中正确的命题是
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
12．如图，某班共48个座位，位于坐标平面的格点上（坐标为整数的点）。班级同学每周串一次座，每次都右串一列，前串一行，其中最前一行串到最后一行，最左列串到最左列。若甲同学第一周的位置是（5，2），则第9周他的位置是（ ）
A．（5，2） B．（5，3） C．（5，4） D．（1，5）
第II卷（非选择题 共90分）
注意事项：
第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题中。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．已知
，则
的值是_____________。
14．点P在抛物线
上，P到抛物线顶点的距离与到准线的距离相等，则点P的坐标是_____________。
15．
是关于x的方程
（0<a<1）的解，则，1，a这三个数的大小关系是_____________。
16．一个球与正四面体的六条棱都相切，则正四面体的体积与球的体积之比是_____________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
设z=1+cos2α+isinα，
。
求cos(α-β)cos(α+β)
18．（本小题满分12分）
在长方体
中，
，BE⊥AC交AD于E。
（I）求证：
；
（II）求二面角
的正切值。
19．（本小题满分12分）
已知数列满足，
（n∈N，r≠0，1）
（I）求
的值；
（II）猜想的通项公式并加以证明；
（III）是数列的前n项和，若
，求r的值。
20．（本小题满分12分）
如图，已知A、B是两个定点，且AB=2，动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，直线a垂直于直线AB，且B点到直线a的距离是3。
（1）试确定点P到点B的距离与点P到直线a的距离之比；
（2）若PA-PB=1，求
。
21．（本小题满分12分）
如图，一科学考察船从港口O出发，沿东偏北α角的射线OZ的方向航行，其中tgα=3。在距离港口O为
（a是正常数）海里东偏北β角的A处有一个供给科考船物资的小岛（
）。现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船。该船沿BA方向不变全速追赶科考船，并在C处相遇。经测算当两船运行的航线与海岸线OB围城的△OBC面积S最小时，补给最适宜。
（I）求S关于m的函数关系式S(m)；
（II）当m为何值时，补给最适宜。
22．（本小题满分14分）
已知二次函数
（a、b、c∈R），满足f(-1)=0，对于任意实数x都有f(x)-x≥0，并且当θ∈[0，2π）时，都有
。
（1）求f(1)；
（2）证明：b>0、c>0；
（3）如果函数g(x)=f(x)-kx在[0，2]上有反函数，求k的取值范围。
参考答案：
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
DCADB DABCB AC
二、填空题：本大题共四小题，每小题四分，共16分。
13．
；
14．
；
15．
；
16．
三、解答题：本大题共六小题，共74分。
17．（本小题满分12分）
解：∵z=1+cos2α+isinα
=2cosα(cosα+isinα) 2分
∵
，
∴
∴argz=α 4分
∴
∴2β=2π-α 6分
8分
10分
∵
∴
∴当
即
时，
取得最大值0。 12分
18．（本小题满分12分）
（I）证明：∵
，AC是
在平面AC上的射影，
，
∴由三垂线定理知
。 3分
连接
，则
，
同理由三垂线定理知
∵
，
∴ 6分
（II）解：设
的交点为O，则
。
连接OE，则由三垂线定理知
，
∴∠AOE为二面角的平面角。 9分
设
，则
，BC=2a。
∵△ABE∽△ABC，
∴
，
∴
。
在Rt△AOE中，
12分
19．（本小题满分12分）
解：（I）当n=2时，
1分
当n=3时，
2分
当n=4时，
3分
（II）猜想
4分
下面用数学归纳法证明
①当n=1，2时，显然成立。
②假设当n=k时，猜想成立，
即
5分
则当n=k+1时，
∴当n=k+1时，猜想也成立。
由①②知对一切自然数n，
都成立。 7分
（注：若用其它方法证明正确可参考给分。）
（III）
9分
∵
∴
且r∈（-1，0）∪（0，1） 11分
整理，得 
解得
或r=2
∵
∴。
12分
20．（本小题满分12分）
解：∵l垂直平分MB， ∴PM=PB 1分
∴PA+PB=AP+PM=AM=4>AB=2 2分
∴P点轨迹为以A、B为焦点，且焦距为2，长轴长为4的椭圆， 4分
其方程为
其中a=2，
，c=1
6分
∴它的右准线为
与直线a重合
∴点P到点B的距离与P到直线a的距离之比为
8分
（2）∵PA-PB=1，PA+PB=4
∴
，
。
9分
在△PAB中，
10分
∴
11分
∴
12分
21．（本小题满分12分）
解：（I）∵tgα=3，∴直线OZ的方程为y=3x 2分
设点A的坐标为（
），
则
，
。
4分
∴A（3a，2a）又B（m，0）
故直线AB的方程为
6分
由
解得
∴
即
8分
（II）
10分
当且仅当
，即
等号成立，
故当m为
海里时，补给最适宜。
12分
22．（本小题满分14分）
解：（1）∵对任意的x，都有f(x)≥x，∴f(1)≥1。 1分
又∵f(1)≤1
∴f(1)=1 4分
（2）∵
∴
∴2(a+c)=1
∴
6分
∴
，
∴
∵f(x)-x≥0 恒成立，
即
恒成立。
7分
∴
∴
∴
9分
（3）∵
∴
∴
10分
∵
在[0，2]上有反函数，
∴g(x)在[0，2]上是单调的。 12分
∴
即2k-1≤0或2k-1≥2
∴
14分