2005学年杭州地区七校期中联考高三数学试卷（理科）
说明：1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2.所有题目均做在答题卷上。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）
1．满足条件
1，2
=
的所有集合的个数是
A．1
B．
2．如果复数
的实部和虚部互为相反数，则
的值等于
A．0
B．
3．若条件
，条件
，则
是
的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知函数
的反函数
，则方程
的解集是
A．{1} B．｛２｝ Ｃ．｛3｝ Ｄ．｛４｝
5．设等比数列
的前n项和为Sn，若
，则
A．1:2 B．2:
6．在等差数列中，
则前n项和
的最小值为
A．
B．
C．
D．
7．已知
，
，
与
的夹角为
，如果
，
，则
等于
A．
B．
C．
D．
8．已知
则
在同一坐标系内的图象大致是
 |
9．设函数
是奇函数，并且在R上为增函数，若0≤
≤
时，f（msin）＋f（1—
m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是
A．（0，1） B．（－∞，0） C．（－∞，1） D．
10．关于函数
，有下列三个命题：
①对于任意
，都有
；
②在
上是减函数；
③对于任意
，都有
；
其中正确命题的个数是
A．0
B．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）
11．等差数列
中，
，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是
。
12．
，则的值是
。
13．已知
, 则
的值为
。
14．定义运算
例如，
,则函数f(x)= 
的值域为 。
三、解答题：（本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分14分）
若
，
,
且
，其中Z为整数集,求实数
的取值范围。
16．（本小题满分14分）
已知
、
、
三点的坐标分别为
、
、
，
，
（1）若
，求角
的值；
（2）若
，求
的值。
17．（本小题满分14分）
甲、乙、丙、丁四人独立回答同一道数学问题，其中任何一人答对与否，对其它人答题结果无影响。已知甲答对的概率为
，乙、丙、丁答对的概率均为
，设有
人答对此题，请写出随机变量的概率分布及期望。
18．（本小题满分14分）
已知等差数列的公差
大于0，且
、
是方程
的两根，数列
的前
项和为
，且
。
（1）求数列、的通项公式；
（2）设数列的前项和为
，试比较
与
的大小。
19．（本小题满分14分）
已知函数=
，在
处取得极值2。
（1）求函数的解析式；
（2）
满足什么条件时，区间
为函数的单调增区间？
（3）若
为=图象上的任意一点，直线
与=的图象切于
点，求直线的斜率的取值范围。
20．（本小题满分14分）
对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：
①在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[
]
，使在[]上的值域为[]；
那么把（
）叫闭函数。
（1）求闭函数
符合条件②的区间[]；
（2）判断函数
是否为闭函数？并说明理由；
（3）若
是闭函数，求实数
的取值范围。
参考答案
一、选择题：（本题每小题5分，共50分）
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| D | A | B | A | C | C | B | B | C | D |
二、填空题：（本题每小题4分，共16分）
11．
12．
13．
14．
三、解答题（本大题6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
解：．
，
（………………2分）
(1)
当
时,
不符合题意.（…………………5分）
(2当
时,
得
（……………………9分）
(3)当
时,
不符合题意。（…………………12分）
综上所得
（…………………14）
16．（本小题满分14分）
解：（1）
，
（………………………3分）
由得
又
（…………6分）
（2）由，得
（………………………10分）
又=
所以，=
。
（………………………14分）
17．（本小题满分14分）
解：
， 
，
，
， 
。
随机变量的概率分布为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P |
|
|
|
|
|
（……………………10分）
。 （………………………14分）
18．（本小题满分14分）
解：（1）由+=12，=27，且>0,所以=3，=9，
从而
，
（………………………4分）
在已知中，令n=1，得
当
时，，
，两式相减得，
，
，
。（………………………8分）
（2）
当n=1时，
，当n=2时，
，
当n=3时，
，当n=4时，
，
猜想：
时，
（………………………10分）
以下用数学归纳法证明：（i）n=4时，已证，
（ii）设n=k（
时，
，即
，则n=k+1时，
，
时，成立。
由（i）、（ii）知
时，
综上所述，当n=1，2，3时，
，当时，。（…………14分）
解法二：当n=1，2，3时，同解法一；（………………………10分）
当时，
=
，
综上所述，当n=1，2，3时， ，当时，。（……………14分）
19．（本小题满分14分）
解：（1）已知函数=，
（……………2分）
又函数在处取得极值2，
，即
（……………………5分）
（2）
由
| x |
|
| （-1，1） | 1 |
|
|
| - | 0 | + | 0 |
|
|
|
| 极小值-2 |
| 极大值2 |
|
所以
的单调增区间为
，
（………………8分）
若为函数的单调增区间，则有
解得
即
时，为函数的单调增区间。 （…………………10分）
（3）
直线的斜率为
（………12分）
令
，则直线的斜率
，
。
（………………14分）
20．（本小题满分14分）
解：（1）由题意，在[]上递减，则
解得
所以，所求的区间为[-1，1] （………………………4分）
（2）取
则
，即不是
上的减函数。
取
，
即不是上的增函数
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。（…………8分）
（3）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域为[]，即
，
为方程
的两个实数根，
即方程
有两个不等的实根。（………10分）
当
时，有
，解得
。
当
时，有
，无解。
综上所述，
。（………………………14分）