资阳市2005—2006学年度高中三年级第一次质量检测
理 科 数 学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页. 全卷共150分，考试时间为120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3．考试结束时，将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求的.
1．设集合
等于( ).
A {1，2，3，4，5} B{1， 3} C{1，2，3} D{4，5}
2．复数
等于( ).
A．
B．
C．
D．
3．不等式
的解集为( ).
A．(－∞,－3)∪(2,∞) B．(－3,2)
C．(－2,0) D．(0,2)
4．已知数列
的前n项和为
，则
的值是( ).
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若函数
满足条件：当x<4时，f(x+1)=f(x)；当x≥4时，f(x)=(
)x.则根据条件可以求得
的值是( ).
A．
B．
C．
D．
6．如果
的( ).
A 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要的条件
7．已知
则tanα的值为( ).
A．
B．–2 C．2 D．
8．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种.
A．140 B．84 C．70 D．35
9．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2＋a4＋a7＋a15＝40，则S13的值为( ).
A．20 B．65 C．130 D．260
10．若函数
内单调递减，则f(x)可以是( ).
A．1 B．cosx C．sinx D．－sinx
11．定义在实数集R上的函数
的最小正周期为T，若当
时，函数y＝
有反函数y＝
，则当
时，函数y＝
的反函数是( ).
A．y＝ B．y＝
C．y＝
D．y＝
12．若O是平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，且满足
(
)，则P点的轨迹一定过△ABC的( ).
A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心
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理 科 数 学
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
| 题号 | 二 | 三 | 总分 | 总分人 | |||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | ||||
| 得分 | |||||||||
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 把答案直接填在题目中的横线上.
13．已知
的展开式的第二项和第三项的系数比为2:11,则展开式中的有理项共有
项.
14．若关于x的不等式
，则实数a的值是
.
15．若函数
的定义域为R，则实数a的取值范围是 .
16．设
是任意的平面向量，给出下列的命题：① 
；②
；③ 
；④ 
；⑤ 
.其中是真命题的有
（写出所有正确命题的序号）.
三、解答题:本大题共6个小题,共74分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝x2＋ax＋a(a∈R).
（Ⅰ） 解不等式：f ( x )>－x ；
（Ⅱ）
若
在x＝1处的切线方程是y＝2x＋3，求a、b的值.
18．（本小题满分12分）
甲、乙、丙各进行一次射击，如果甲、乙2人各自击中目标的概率为0.8，3人都击中目标的概率是0.384，计算：
（Ⅰ）丙击中目标的概率；
（Ⅱ）至少有2人击中目标的概率；
（Ⅲ）其中恰有一人击中目标的概率.
19．（本小题满分12分）
在∆ABC中，已知三个内角A、B、C的对边是a、b、c，其中c＝10，且
（Ⅰ） 判断∆ABC形状；
（Ⅱ） 若∆ABC的外接圆圆心为O，点P位于劣弧
上，∠PAB＝60°,求四边形ABCP的面积.
20．(本小题满分12分)
已知k
，向量
与
之间满足关系
.
(Ⅰ) 用k表示
；
(Ⅱ) 求的范围；
(Ⅲ) 若f ( k )＝ ＋
在区间(0，2
上是减函数，求正实数a的取值范围.
21．（本小题满分13分）
设f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且
f(x)＝
，
(Ⅰ) 求证：直线x＝1是函数y＝ f(x)的对称轴;
(Ⅱ) 当
时，求的解析式；
(Ⅲ) 若A＝
，求a的取值范围.
22．（本小题满分13分）
已知函数
上是增函数.
（Ⅰ） 求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 若数列
；
（Ⅲ） 若数列
满足
且
，试判断数列是否单调，并证明你的结论.
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理科数学试题参考答案及评分意见
一．选择题：每小题5分，共12个小题，满分60分.
1-5. BBACD；6-10. ABCCD；11-12. DA.
二．填空题：每小题4分，共4个小题，满分16分.
13．3；14．
；15．
；16．②⑤ .
三．解答题：
17．
（Ⅰ）由题意x2＋(a＋1)x＋a＞0，即(x＋a)(x＋1)＞0. 故························································· 2分
当a＜1时，由－a＞－1，知 x＜－1或x＞－a ；
当a＝1时，由－a＝－1，知x≠－1 ；
当a＞1时，由－a＜－1，知x＜－a或x＞－1. 5分
综上，当a＜1时，原不等式的解集为{xx＞－a或x＜－1}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x x
R且x≠－1} ；
当a＞1时，原不等式的解集为{x x＜－a或x＞－1}.················································· 6分
（Ⅱ）∵函数h(x)＝x3＋bf (x)在x＝1处的切线方程是y＝2x＋3，
∴
即 
···················································································· 10分
解得
∴ a＝－
，b＝－2.················································································· 12分
18．
设甲、乙、丙各进行一次射击，击中目标的事件分别为A、B、C，则A、B、C三事件是相互独立的. 1分
由题意有：P(A)＝0.8，P(B)＝0.8，甲、乙、丙三人都击中目标的事件是A·B·C，且P(A·B·C)＝0.384. 2分
（Ⅰ）∵P(A·B·C)＝P(A)P(B)P(C)＝0.384，P(A)＝0.8，P(B)＝0.8，
∴P(C)＝0.6.······························································································································ 5分
（Ⅱ）设甲、乙、丙三人中至少有两人击中目标的事件为D，则D可分为甲、乙击中，丙未击中，甲、丙击中，乙没有击中和甲没有击中，乙丙击中，以及三人都击中，这三个事件又是互斥的.
∴P(D)＝P(A·B·
)＋P(A·
·C)＋P(
·B·C)＋P(A·B·C)
＝0.8×0.8×0.4＋0.8×0.2×0.6＋0.2×0.8×0.6+0.384
＝0.832.····················································································································· 9分
（Ⅲ）设恰有一人击中目标的事件为E，则
P(E)＝P(··C)＋P(··B)＋P(A··)
＝0.2×0.2×0.6＋0.8×0.2×0.4×2
＝0.152.······························································································································ 12分
答：（Ⅰ）丙击中目标的概率是0.6；（Ⅱ）至少有2人击中目标的概率是0.832；（Ⅲ）其中恰有一人击中目标的概率是0.152.
19．
（Ⅰ）∵
＝
＝
，∴ a≠b，
A≠B
.
由正弦定理可得，＝
，
∴ cosA·sinA＝cosB·sinB，
∴ sin2A＝sin2B .··················································································································· 4分
∵ A≠B，A、B是△ABC的内角，∴2A＋2B＝π ，∴A＋B＝
，C＝，
∴ △ABC是直角三角形.······································································································ 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得AC=8，BC=6，
又∵∠PAB＝60°，连接PB，则∠APB＝90°，∴ AP＝
AB＝5.
∵∠PAB＝60°，sin∠CAB＝
，cos∠CAB＝
，
∴sin∠PAC＝sin(60°－∠CAB)＝
·－
·＝
.··································· 10分
∴S四边形APCB＝S△APC＋S△ABC＝·AP·PC·sin∠PAC＋AC·BC
=
＋×8×6＝
－6＋24＝＋18.············································ 12分
20．
（Ⅰ）由已知有，
＝1，
＝1，
而，∴ k2＋1＋2k·＝2（1＋k2－2k·），
∴ 6k·＝1＋k2 ，∴ ·＝
.········································································· 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，·＝
＝
(
＋k)，
故 当k＞0时，·≥
；当k＜0时，·≤－.
又∵ －1＝－·≤·≤·＝1，
∴ ·的取值范围是[－1, －]
[, 1].···································································· 8分
（Ⅲ）由f
(k)＝
，得
(k)＝－
，
要使f ( k )＝ ＋在区间(0，2上是减函数，则
在
上，(k)
恒成立 .························································································ 10分
又(k)＝－在（0, 2的最大值是－
，所以只需－
.
∴ 
，即a的取值范围是
.··········································································· 12分
另解（一）：
由f (k)＝，得f
′(k)＝－，令f
′(k)＜0.
∵ a＋1＞0，∴
＜k＜
，且k≠0.
∴ f (k)的减区间是（－, 0），（0, ）
∴ 要使f (k)在（0, 2）为减函数，则≥2，∴a≥3.
∴ a的取值范围是[3,＋∞].
另解（二）：
由上可知，f (k)＝＋
＝
，
设0＜k1＜k2≤2，则
f（k1）－f（k2）＝
－
＝
＝
.
∵0＜k1＜k2≤2，∴k1k2＞0，k1－k2＜0，k1k2＜4，
∴当a≥3时，k1k2－a－1＜0，∴ f (k1)－f (k2)＞0，
∴函数y=f (k)在区间为减函数.
而当0＜a＜3时，0＜
＜2，f (2)＝f ()＝
，故函数f
(x)在（0, 2）上不单调，
∴ a的取值范围是
21．
（Ⅰ）证明：设（x, f (x)）是y＝f (x)图象上的任意一点，
而（x, f (x)）关于x＝1的对称点为（2－x, f (x)），
∵ f (x)是奇函数，且f (x＋2)＝－f (x)，
∴ f (2－x)=－f (－x)= f (x)，
∴ 点(2－x, f (x))也在y＝f (x)的图象上，
∴ y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称.··············································································· 4分
（Ⅱ）∵ f (x)是奇函数，∴f (0)＝0 .······························································································· 5分
当x
(0, 1时，－x[－1, 0
，又∵当－1≤x＜0时，f (x)＝x3 ，∴f (－x)＝(－x)3
∴ f (x)＝－f (－x)＝x3 .
∴ 当x[－1, 1]时，f (x)＝x3.
又
当x
1, 3]时，x－2－1, 1]，∴ f (x－2)＝(x－2)3.
······································ 7分
又∵f (x＋2)＝－f (x)，∴f (x－2)＝－f (x)＝(2－x)3 ，f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
∴ 4是f (x)的周期.················································································································· 9分
又当x3, 5]时，x－4－1,1]，∴f (x)＝f (x－4)＝(x－4)3，
∴ f (x)＝
······························································································ 11分
（Ⅲ）由前可知，f (x)的值域是[－1, 1]，∴ f (x) ≤ 1
∴要使 f (x) ＞a有解，则a＜1， ∴ a的取值范围是(－∞, 1).································ 13分
22．
（Ⅰ）由于f (x)在（0, 1）上是增函数，
∴ 
(x)=
＋a≥0在（0, 1）上恒成立，∴ a≥－恒成立.
而－2＜x－2＜－1，∴－1＜＜－
，＜－＜1，
∴ a≥1，即a的取值范围是
.················································································· 4分
（Ⅱ）先用数学归纳法证明当n
时，有0＜an＜1.
（1）当n＝1时，由题设知a1∈(0, 1)命题成立。
（2）假设当n＝k时命题成立，即0＜ak＜1。则当n＝k＋1时，ak＋1＝ln(2－ak)＋ak，
由（Ⅰ）可知，当a＝1时，
是增函数。
∴0﹤ak＋1＝ln(2－ak)＋ak＜1，
∴当n＝k＋1时，命题成立。
∴ 当n
时，有0＜an＜1.····························································································· 8分
∴ an＋1－an＝ln(2－an)＞0 ， ∴ an＋1＞an，nN .······················································· 9分
（Ⅲ）数列{bn}不具有单调性.
令g(x)＝2ln(2－x)＋x，
则
(x)＝1－
当x(1, 2)时，(x)＜0，
∴ g(x)＝2 ln (2－x)＋x在（0, 2）上是减函数.································································ 11分
∵ b1(0, 1)，b2＝2 ln (2－b1)＋b1＞1，且b2<2ln2<2
∴ b3＝2 ln (2－b3)＋b2＜2 ln (2－1)＋1＝1，
∴ b1＜b2，而b2＞b3，∴ {bn}不具有单调性.································································ 13分
另解：
令b1＝，则b2＝2ln(2－b1)＋b1＝2 ln 
＋＝ln 
＋(1, 2)，
而b3＝2 ln (2－b2)＋b2＜1.
由此可知，{bn}不具有单调性.