福建省诏安一中2007年高三教学质量检测
数 学 试 题（理科） 2007.06.1
考试时间：120分钟 满分：150分
一．选择题：每小题5分，共60分．
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答 案 | A | D | A | D | B | A | A | B | A | D | B | A |
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
13．６人 14．（０，２）
15．
16．2
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）解：（1）∵m⊥n，∴m·n＝0，∴cosA＋1－sinA＝0 （2分）
sinA－cosA＝1，sin（A－）＝ （4分）
∵0<A<π， ∴－<A－<，A－＝， ∴A＝ （6分）
（2）∵b＋c＝a，∴由正弦定理得：sinB＋sinC＝sinA＝ （8分）
∵B＋C＝，∴sinB＋sin（－B）＝·cosB＋sinB＝ （10分）
即sin（B＋）＝ （12分）
19．解：（1）∵
∴
………………2分
又
∴ l方程为：
，即：
…………4分
又
与圆
相切， ∴
……………………6分
（2）
∵
又
∴当
；当
∴
增区间为
……………………（12分）
19． 解法1：（I）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，
∴EF//PC， 又EF
平面PAC，而PC
平面PAC
∴EF//平面PAC.……………4分
（II）证明：∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，
∴EB⊥PA，.
又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，
又AF平面PAB，∴AF⊥BE.
又PA=AB=1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，……4分
又∵PB∩BE=B，PB，BE平面PBE，∴AF⊥平面PBE.
∵PE平面PBE，∴AF⊥PE.……………………8分
（Ⅲ）过A作AG⊥DE于G，连PG，
又∵DE⊥PA，则DE⊥平面PAG，
于是，平面PAG⊥平面PDE，它们的交线是PG，过A作AM⊥PG，垂足为M，则AM⊥平面PDE，即PA在平面PDE的射影是PM，所以PA与平面PDE所成的角是∠APG=45°.
∴在RtPAG中，PA=AG=1，∴DG=
，………………10分
设BE=x，∵△AGE≌△ABE，则GE=x，CE=－x，
在Rt△DCE中，(+x)2=(－x)2+12，得BE=x=－.……12分
解法二：（向量法）（I）同解法一…………………………4分
（II）建立图示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0），
，设
，∴AF⊥PE………………8分
（Ⅲ）设平面PDE的法向量为
而
=（0，0，1）依题意PA与平面PDE所成角为45°，
所以sin45°=
，
，
得BE=x=－，或BE=x=+（舍）.……………………12分
20．解：设初中x个班，高中y 个班，则
……………（4分）
设年利润为s，则
……（6分）
作出（1）、（2）表示的平面区域，如图，易知当直线1.2x+2y=s过点A时，s有最大值.
由
解得A（18，12）.……（10分）
（万元）.
即学校可规划初中18个班，高中12个班，
可获最大年利润为45.6万元.……（12分）
21．解：（1）设C：＋＝1（a>b>0），
设c>0，c2＝a2－b2，由条件知－c＝＝，＝，
∴a＝1，b＝c＝，故C的方程为：y2＋
＝1 （4分）
（2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，
∴λ＋1＝4 λ＝3 （6分）
设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）
x1＋x2＝， x1x2＝ （8分）
∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，
∴3（）2＋4＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0 （10分）
m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，
由（*）式得k2>2m2－2，因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1<m<－或<m<1
即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1） （12分）
22．解：（1）由f(1)=2得2a=b+2 ①
由f(x)=2x，得ax·2x=b+2x，即2ax2－2x－b=0只有一个x满足f(x)=2x，又a·b≠0，
则a≠0 ∴△=4+8ab=0 ②
由①②解得 a=
………………………………（2分）
（2）当n≥2时，
∵当
…………（6分）
∴当n≥2（n∈N*）时，Sn+an=n+2，则Sn－1+an－1=n+1
两式相减得：2an－an－1=1（n≥2），∴2(an－1)=an－1－1，即an－1=(an－1－1) （n≥2）
∴数列{an－1}是以为首项，以为公式的等比数列.
……………………（9分）
（3）
