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全国高中数学联赛模拟试题

2014-5-20 5:58:04下载本试卷

全国高中数学联赛模拟试题(十)

(命题人:杨建忠 审题人:李潜)

第一试

一、选择题:(每小题6分,共36分)

1、 设集合M={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射fMN使对任意的xM,都有x+f(x)+xf(x)是奇数,则这样的映射f的个数是

(A)45     (B)27     (C)15     (D)11

2、 已知sin2=a,cos2=b,0<,给出值的五个答案:

;    ②;    ③;    ④;  ⑤

其中正确的是:

(A)①②⑤   (B)②③④   (C)①④⑤   (D)③④⑤

3、 若干个棱长为2、3、5的长方体,依相同方向拼成棱长为90的正方体,则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是

(A)64      (B)66     (C)68    (D)70

4、 递增数列1,3,4,9,10,12,13,…,由一些正整数组成,它们或者是3的幂,或者是若干个3的幂之和,则此数列的第100项为

(A)729      (B)972    (C)243   (D)981

5、 (其中,[x]表示不超过x的最大整数)的值为

(A)            (B)

(C)     (D)

6、 一个五位的自然数称为“凸”数,当且仅当它满足abccde(如12430,13531等),则在所有的五位数中“凸”数的个数是

(A)8568      (B)2142    (C)2139    (D)1134

二、填空题:(每小题9分,共54分)

1、 过椭圆上任意一点P,作椭圆的右准线的垂线PHH为垂足),并延长PHQ,使得HQ=PH≥1).当点P在椭圆上运动时,点Q的轨迹的离心率的取值范围是     

   

2、 已知异面直线ab所成的角为60°,过空间一点P作与ab都成角(0<<90°)的直线l,则这样的直线l的条数是f()=     

3、 不等式的解集为          

4、 设复数z满足条件z-i=1,且z≠0,z≠2i,又复数使得为实数,则复数-2的辐角主值的取值范围是       

5、 设a1,a2,…,a2002均为正实数,且,则a1a2a2002的最小值是         

6、 在一个由十进制数字组成的数码中,如果它含有偶数个数字8,则称它为“优选”数码(如12883,等),否则称它为“非优选”数码(如,958288等),则长度不超过nn为自然数)的所有“优选”数码的个数之和为       

三、(20分)

      已知数列{an}是首项为2,公比为的等比数列,且前n项和为Sn

(1)    用Sn表示Sn+1

(2)    是否存在自然数ck,使得>2成立.

四、(20分)

设异面直线ab成60°角,它们的公垂线段为EF,且EF=2,线段AB的长为4,两端点AB分别在ab上移动.求线段AB中点P的轨迹方程.

五、(20分)

已知定义在R+上的函数f(x)满足

    (i)对于任意abR+,有f(ab)=f(a)+f(b);

    (ii)当x>1时,f(x)<0;

    (iii)f(3)=-1.

现有两个集合AB,其中集合A={(p,q)f(p2+1)-f(5q)-2>0,pqR+},集合B={(p,q)f()+=0,pqR+}.试问是否存在pq,使,说明理由.

第二试

一、(50分)

如图,AMAN是⊙O的切线,MN是切点,L是劣弧MN上异于MN的点,过点A平行于MN的直线分别交MLNL于点QP.若,求证:∠POQ=60°.

二、(50分)

已知数列a1=20,a2=30,an+2=3an+1-ann≥1).求所有的正整数n,使得1+5anan+1是完全平方数.

三、(50分)

M为坐标平面上坐标为(p·2002,7p·2002)的点,其中p为素数.求满足下列条件的直角三角形的个数:

(1)    三角形的三个顶点都是整点,而且M是直角顶点;

(2)    三角形的内心是坐标原点.

参考答案

第一试

一、选择题:

题号

1

2

3

4

5

6

答案

A

C

B

D

D

B

二、填空题:

  1、;              2、

  3、;        4、

  5、40022002;             6、

三、(1);          (2)不存在.

四、

五、不存在.

第二试

一、证略;

二、n=3.

三、 p≠2,7,11,13时,324个;p=2时,162个;p=7,11,13时,180个.