第六届日本算术奥林匹克决赛试题与解答
第一试
1.用一个尽可能小但比1大的整数乘以1997，使其乘积中出现5个连续的9。求这个乘积。（本题17分）
2.如图，有六边形ABCDEF，已知∠A＝∠B=∠C＝∠D＝∠E=∠F＝120°，AB＝BC＝CD，AF＝DE，三角形FCE的面积为60m2，∠x=60度。求六边形ABCDEF的面积，并请标明必要的记号及角度。（答案8分，必要的记号及角度7分）
3.在一次马拉松长跑比赛中，有100位选手参加。大会准备了100块标有整数1到100的号码布，分发给每位选手。选手们被要求在比赛结束时，将自己号码布上的数字与到达终点时的名次数相加，并将这个和数交上去。问这交上来的100个数字的末2位数字是否可能都不相同？请回答可能或不可能，并清楚地说明理由。注：没有同时到达终点的选手。（本题16分）
简 答
1.我们可利用如下的关系式：
1997×（某个数）=2000×（某数）-3×（某数）如果后五位数是99990时，应有
2000 ×（某数）＝×××□000
3 ×（某数）＝ ×□001
××9 9 999
那么这时所求会很大。
如果除去个位外，后五位数是99999，那么应用：
2000 ×（某数）＝×××□000
3 ×（某数）＝ ×□00？
？9 9 9 99？
经试算可得某数为2003。
即 2003×1997=为最小。
2.过点B作D＇B∥CD，使D＇B=DE，连D＇F，D＇C。
∴ 可证明△D＇BC≌△DEC，△D＇BF＇≌△FAF＇
∴ 所求面积为120cm2。
3.不可能。
因为已知没有同时到达的选手，所以名次是从第1名排到第100名，共100个名次，100位选手，编号为1～100，不管哪位选手得到名次如何，交上来的100个数字的末两位数字肯定是00，01，……99，它们的和的末两位数字为50。而各位选手的编号加上各位选手名次的和为（1+2+…，100）+（1+2+…+100）＝9900，末两组数字为00，即00≠50，所以交上来的100个数字的末两位数不可能都不相同。
第二试
1.有一个立方体，它的六个面被分别涂上了不同的颜色，并且在每个面上至少贴有一张纸条。用不同的方法来摆放这个立方体，并从不同的角度拍下照片。
（1）洗出照片后，把所拍摄的面的颜色种类不同的照片全部挑选出来，请问最多可以选出多少张照片？（4分）
（2）观察（1）中选出的照片，发现各张照片里的纸条数各不相同，问整个立方体最少贴有多少张纸条？（15分）
2.如图1，用125个1cm×1cm×1cm的小立方体堆成一个5cm×5cm×5cm的大立方体。现在通过A、B、C三点的平面切断这个大立方体，请回答下面两个问题：
（1）切断面是什么形状？回答出名称。（3分）
（2）这个平面切到了多少个小立方体？
注：如图2，以下三种情况只接触到了小立方体的顶点、边和面，不计入在内。（10分）
3.有从一年级到六年级的儿童各一人，排成一列领取糖果。
如果一个高年级的儿童站在低年级的儿童前面，那么高级年儿童后面所有比他年级低的儿童都会各有一次“怨言”。
在一种排列顺序里，我们把所有“怨言”的总数叫“怨言数”。（注：一个人可以有两次以上的“怨言”。）
例如：下面的排列，其“怨言数”就是4。
（前） “怨言”
1年级生 0次
4年级生 0次
3年级生 1次
2年级生 2次
6年级生 0次
5年级生 1次
“怨言数”…4次
问：“怨言数”为7的排列顺序有几种？
（答案请写在解答纸上）（20分）
简答
1.（1）1面的6种,2面的12种,3面的8种,即共6+12+8=26(张)
（2）∵单独拍的1种，拍2面的2种，拍3面的4种，共计9种拍摄方法。
∴26张上的字条合计为：
1+2+3+…+26=351，
∴351÷9=39。
即最低需要39张纸条。
2.（1）正六边形。
（2）55个。
3.2人进怨言数为“0，1”，排列为“1，1”。3人时怨言数为“0，1，2，3”，排列为“1，2，2，1”。即：
即6人时怨言数为7的排列有101种。