小学数学奥林匹克竞赛模拟题第四部分十节
第十节习题
1、世界上许多城市相互之间结为友好城市，其中有m个城市分别和其它奇数个城市结为友好城市，证明m是一个偶数。
2、中国科学技术大学举办大学生围棋比赛，共有选手35人参加。比赛几天后，小李告诉小王，每位选手都已至少赛过3场，小王听了说：“那样就至少有一个选手赛过至少4场了。”他说的有无道理？
3、有如下44张牌
7-7，7-7，7-6，7-6，7-5，7-5，
7-4，7-4，7-3，7-2，7-1，7-1，
6-6，6-6，6-5，6-5，6-4，6-4，
6-3，6-2，6-1，6-1；
5-5，5-5，5-4，5-3，5-2，5-1，
5-1，
4-4，4-4，4-3，4-2，4-1；
3-3，3-3，3-2，3-1，3-1；
2-2，2-2，2-1；
1-1，1-1。
用这些牌可以玩“接龙”游戏，例如甲乙两人分好牌后，甲可先任出一张，比如甲出的是6-3，那么乙可以出形如“a-6”的牌接成a-6，6-3，或者出形如“3-b”的牌接成6-3，3-b，下面再由甲出牌，如此下去，直到两人手中全部牌接成一条“龙”或有人接不下去为止。注意，a-b可以当成b-a用。（1）如果能把全部牌接成一条龙，龙的两头各应是什么数字？（2）如果玩了一阵，甲手中还剩下7-7，7-7，7-6，共3张牌，而乙的手中还剩下7-6，6-5，4-3这3张牌，其余牌都已接好，这时龙的两头各是什么数字？（3）能否用所有44张牌接成一个圈或几个圈？
4、能否找到一条折线，与下图中16条线恰好各相交一次？（不准在端点相交）
图10.14
5、一个展览会布置在一个正方形的平房中（见图10.15），里面共有49间展室，每间展室都有展品展出，相邻两室都有门相通。有人希望一次参观把所有展品都看到，且每间展室只去一次，请替他安排一条参观路线。
图10.15
6、图10.16中的两图是两座平房的房间平面结构图，相邻两房间之间皆有门相通。图中所有的门都已标出，其中有些门是通向室外的。两座房子的主人都想不重复地穿过自己房子的每一扇门，请替他们各设计一条路线。
（1） （2）
图10.16
7、将下面的问题变成一笔画的问题来解决：有两个展览，各有4个展室，每相邻两展室都有一个门相通，此外有出入口，如10.17图所示。问能否找一条路线，从入口进，从出口出，且恰好经过每个展室一次？
图10.17
8、10.18图是某个城市的商业区的一部分，数字表示的是商店的橱窗，字母A表示一个参观者开始所在的位置，他想一次把这部分街区里全部22个橱窗都看一遍，但不得重复，并要求最后回到出发点A。这是否可能？如可能，请替他设计一条参观路线。
图10.18
9、图10.19是某城市部分街道图，A点所在处是该区清洁车队，每天清晨一辆清洁车从A点出发清扫这部分街道，然后回到车队，再有箭头的路段为单行道，只需扫一遍，而其余街道为双行道，街道两边各需清扫一遍，在任一十字路口都可以转变，请找出一条经济的路线来。
图10.19
10、一名邮递员投送信件的街道路线如图10.20所示，图上数字表示各段街道的长度（单位为公里），他从邮局出发走遍各条街道，最后回到邮局，走怎样的路线最短？
图10.20