典型例题
例1 用代数式表示图中阴影部分面积S,并求当 时阴影部分面积S(
取
).
分析 为了方便,可分别设正方形、扇形面积 、
,由图可知:
,进一步利用面积公式就可求出结果.
解:
当 时,
答:当 时阴影部分面积为
.
说明:计算此类阴影部分面积,常采取“叠加法”或“割补法”.要注意这种“聚零为整,化整为零”的思想方法在解题中的应用.
例2 已知梯形的上底是 ,下底是
,高是
,面积是S.若
,
.求下底
.
解:根据加与减,乘与除互为逆运算
由 ,得
,
,
答:所求梯形的下底 为
.
说明:解此类题时,可先根据加与减,乘与除互为逆运算将公式变形,再由变形后的公式进行计算.
例3 某电影院有20排座位,已知第一排有18个座位,后面一排前一排多2个座位.写出计算第 排的座位数
的公式,并求第19排的座位数.
分析 可将排数与对应的座位数列表如下:
排数 | 每排座位数 |
1 2 3 4 5 … | 18 20 22 24 26 … |
第一排为 个座位;第二排有
个座位;第三排有
个座位……,由此可知座位数
与排数
之间的关系.
解:座位数 与排数
之间关系为:
当 时,
说明:此题需从反映数量关系的一些数据中分析出公式,进而求代数式的值,其中包含“由特殊到一般,又由一般到特殊”的思维方法,解题时要注意体会.
例4 某校气象兴趣小组为了研究气温随海拔高度变化的关系,在学校附近的一座小山上实地测量了不同高度的气温,测得结果如下表:
海拔高度 | 气温 |
0 | 20 |
100 | 19.4 |
200 | 18.8 |
300 | 18.2 |
400 | 17.6 |
(1)写出用海拔高度 表示气温
的公式;
(2)计算450米海拔高度时的气温.
分析:从表中可以看出:海拔高度每升高100米,气温就下降0.6摄氏度.而
,
,
,
,
……
且
因此,上面各等式中右边“-”号后部分是 .用20减去
,即是气温
.
解:由题意,可得
(1) ;
(2)当 米时,
(摄氏度).
答:450米海拔高度时的气温为17.3摄氏度.
说明:通过本例可以看出,公式并不是从天上掉下来的,而是通过“试验——观察——分析——寻求规律”的方法而发现的,反映了一种从特殊到一般的归纳思想,以及“由特殊到一般,由一般到特殊”的认识论方法.这些方法在今后的学习中必须重视.
例5 用代数式表示如图1-1阴影部分面积.
分析:阴影部分的面积可视为两个长方形的面积之差.也可以分割成几个小长方形或正方形,它们的面积和即为所求.
解法1:把阴影部分面积视为图中外长方形与内长方形的面积之差.
则
解法2:把阴影部分割成两个长为 、宽为
与两个长为(
)、宽为
的长方形,
则 .
说明:解决这种问题,主要是把所求图形,制补成一些基本的规则图形(能直接利用面积公式求解的图形),就很容易根据要求,把所求面积用代数式表示出来.当然,要注意割补合理、巧妙,从而确定出最佳方案,以最快的速度求出阴影部分的面积.
另外,上述两种解法得到的结果虽然形式上不一样,但是经过化简,实质上是一样的.
选题角度:
大体分这几类:一、用代数式表示图中阴影部分面积 ;二、 研究气温随海拔高度变化的关系;三、 用代数式表示电影院的每排座位数与排数的关系;四、用常见的公式求值,如梯形面积公式、长方形的面积公式等等。
习题精选
一、填空题
1.如图1-4-3,在长方形两边各以其宽为直径作半圆,正中紧贴两半圆作一个圆,则图中阴影部分的面积
________(用
、
、
表示).
2.观察下列等式: ,
,
,
,…,则第
个等式用
表示为_______.
3.一个圆环,外圆半径为 cm,内圆半径为
cm,则圆环的面积
的公式为:
_________.此公式中,若用
、
、
表示
的结果应为:
=_______.
4.有一列数: ,
,
,
,…,则这一列数的第
个数为____________;这一列数中前100个数的和为_________.
5.下面由火柴杆拼出的一列图形中,第 个图形由
个正方形组成;
……观察发现.第四个图形中火柴杆有________根;第
个图形中有火柴杆________根.
参考答案
1.
;
2. ;
3. ,
;
4. ,
;
5.13 .
二、选择题
1.梯形的上底长1厘米,高为5厘米,面积是20平方厘米,则下底长为( ).
A.7厘米 B.3厘米
C.7厘米或3厘米 D.不能确定
2.正方形的棱长为a,则它的表面积S为( ).
A.a B.4a
C.6a
D.8a
3.小红每天要做 道课外习题,第一天用了
小时,第二天用了
小时,则小红这两天平均每小时做的习题数
为( ).
A. B.
C. D.
4.长方形的长为 ,面积为
,则其周长
用
、
表示的结果为( ).
A. B.
C. D.
5.李阳将压岁钱100元存入银行,存款的月利率是 ,到期取出时,其本息和
元与所存月数
之间的关系为(不计利息税)( ).
A.
B.
C.
D.
6.三角形的两边为 、
,其上的高分别为
、
,则用
、
、
表示
的结果为( ).
A.
B.
C.
D.
7.销售活动中, . 某商人有一进价为450元的商品,要使利润率不低于10%,则售价最少应为( ).
A.495元 B.500元 C.545元 D.550元
参考答案:1.A 2.C 3.C 4.D 5.D
6.B 7.A
三、解答题
1.球从高处自由落下,用仪器测得1秒末下落5米,2秒末下落20米,3秒末下落45米;用下落时间t(秒)表示下落的距离h(米),写出这个公式.
2.根据给出的数据推导公式.
推导从1到 这
个连续自然数的和
的公式,并求当
时,
的值.
3.已知:两圆的直径和为30,其中一个圆的半径为R.
(1)用代数式表示2个圆的面积之和;
(2)当 时,求2个圆的面积之和.
4.梯形的上底是 ,下底是
,面积是
.如果
,
,
,求高
.
5.一根钢管,它的截面是一个圆环,外圆直径 厘米,内圆直径
厘米,钢管长
米.求这个钢管的体积
.
6.如图,在长方形 中,
是
边的中点,两个直角扇形的半径分别为
与
.设图中阴影部分的面积为
.
(1)求用 、
、
表示
的公式;(2)当
,
,
时,求
的值.
7.某商店出售一种商品,重量 与售价
之间的关系如右表:
数量 | 售价 |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
… | … |
(1)写出用数量 表示售价
的公式.
(2)小张想买此种商品7.5千克,应付款多少元?
8.如图,已知正方形 的边长为
,正方形
的边长为
,三角形
、
的面积分别记作
、
,试用两种方法求出用
、
表示
、
的公式.
9.钢铁厂工人堆放某种型号的圆柱形钢管的方法是:在最下面第一层先排 根,以后每层均比其下面的一层少一根钢管.第
层有
根钢管,这一堆钢管总数为
.
(1)写出用 、
表示
、
的公式,并说明当第一层排放了30根钢管时,这堆钢管最多有多少层?
(2)若钢铁厂某周生产此种钢管345根,受仓库高的限制只能堆放15层,则最下面一层应排放多少根?
参考答案:
1. .
2. .
当 时,
.
3.(1)设半径为R的圆的面积为 ,则另一圆的面积为
,则;
.
(2)当 时,
,
∴
.
4.由题意, .∴
4.答:所求梯形的高是
4.
5.由题意,可得
(立方厘米).
6.(1) (2)
.
7.(1) (2)
元.
8.方法一: ,
方法二:延长 、
交于
,
则 ,
.
9.(1)
(2)30层
(3)30根.