第８章 多边形
【三维目标要求】
１.了解几种特殊的三角形与多边形的特征，探索、归纳多边形的内角和与外角和公式，并能运用于解决计算。
２.体验探索、归纳过程，学会合情推理的数学思想方法；体验证明的必要性，学会初步说理。
３.欣赏丰富多彩的图案，体验数学美，提高审美情趣。
§８．１ 瓷砖的铺设
【教材解读】
瓷砖的铺设是本章教学内容的实际背景，让学生知道铺满地面的图形有的是规则的，有的是不规则的，并了解瓷砖铺设的一般方式。
【重点再现】
1.本节的重点和难点是了解瓷砖如何拼成一块完整的地面和墙面。
2.学习本节的关键是要认真观察，留心生活中的实例。
【难点突破】
课本中本节给出了用正三角形、正方形、长方形、正六边形、不规则的四边形瓷砖铺设的地（墙）面图案。想一想并动手做一做，剪出一些形状、大小都一样的四边形，拼拼看，能否铺满地面而不留空隙？
【知识与生活】
观察自己的家、学校、商店、广场以及大街两旁的人行道上铺设的地砖和墙砖的形状，或到建材市场、或网上查询，收集瓷砖的形状，比一比，看谁收集的多，把你喜欢的几种图案画到下面的方框内。
【同步提升】
【必备功底】 试一试，完成下列题目：
1.瓷砖是生活中常见的装饰材料，你见过那些形状的瓷砖？它们的形状有什么特点？请给以描述。
2.你知道瓷砖能铺满地面的奥秘吗？
【智力拓展】 小小设计家
3.请你设计并绘制两种不同的瓷砖铺设方案，注意讲究美观、大方。
【整合拓展】
4.与你的父母外出旅游时，留心观察各种建筑物的地面、墙面的瓷砖形状及铺设的方法，并绘成草图，展示给同学们并说说你的想法。
【数学趣闻连载】
剪刀和纸片（一）
也许以前你曾这样想过———我以前当然也会这样想———在这世界上，不必要的东西太多了。其实，这是一个错误的观念。表面上似乎无用的东西，从另外一个角度来看，往往又变成很有用的东西。而有些工作上不需要的东西，则可以运用到娱乐方面。
我在整理房间时，看到一堆旧书信和许多细长的纸条，这些纸条是贴壁纸剩余的边脚料，零零碎碎的，乱七八糟。“看样子，这些废纸只有进垃圾箱的命了，都是废物。”我本来有这种想法。无论谁来看，都认为是形同垃圾的废纸。其实，只要巧妙运用，仍有很大的价值。哥哥就准备告诉我，应该怎样利用这些废物。
首先，哥哥要我利用这些纸条。
我拿着约有手掌三倍长的纸条交给哥哥，他说：“你拿着剪刀，把这纸条剪成三部分。”
当我拿起剪刀准备剪时，哥哥又拉住我的手说：“等一下，我的话还没说完，你必须一次就把纸条剪成三部分才可以。”
你说，我该怎么办呢？
8．2三角形
【教材解读】
学习三角形是学习多边形的基础，本节主要要学会：了解三角形的内角、外角及其主要线段（中线、高、角平分线）等概念；会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和高；探索并掌握三角形的外角性质及外角和；理解并掌握三角形的三边关系的性质；了解三角形的稳定性。教学过程中要鼓励学生自主探索，大胆猜想，动手操作，探索发现有关结论，另一方面辅以简单的数学说理，从而确信这一数学结论的正确性。
【重点再现】
本节的重点是三角形的有关概念，三角形的外角的性质及外角和、三角形的三边关系等等。
【难点突破】
三角形外角性质及三角形三边关系性质的应用是本节的难点，学习时要勤于动手，多画图，帮助分析理解，并结合生活实际体会三角形知识的综合运用。
【知识与生活】
有一块三角形形状的优良品种的试验土地，技术人员打算从外地引进四个不同的优良品种进行对比实验，所以现在要把这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案，以供技术员选择。（可画图说明）
 | | |
【同步提升】
【必备功底】
1． 填空
（1）如图，图中以CD为边的三角形共有______个，他们分别是_____________________。
（2）一个三角形中最多有_____个锐角，最少有______个锐角。
（3）如图，图形中是直角三角形的有_______________________________。
（4）已知等腰三角形的一边是6，另一边是5，则第三边是__________；三角形的周长是____________。
（5）三角形的三个内角的比为3：2：5，则三个角分别为______________；三个相邻的外角为________________。
（6）在三角形中相邻的外角是内角的2倍，则此外角的度数是__________。
（7）在△ABC中，∠B和∠C的角平分线交于点O，若∠A=500，则∠AOC=_______。
（8）一个三角形的两边长分别是3cm和8cm，第三边长是奇数，那么第三边长是_______，三角形的周长是_________。
（1） （3）
2.我来判断，用“×”或“√”来表示
（1）三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 （ ）
（2）凡等腰三角形都不是直角三角形。 （ ）
（3）钝角三角形中有的是等腰三角形。 （ ）
（4）一个三角形中最多有一个钝角。 （ ）
（5）一个三角形中可以有两个直角。 （ ）
（6）等边三角形既不是直角三角形也不是钝角三角形。（ ）
（7）凡等边三角形都是锐角三角形。 （ ）
（8）凡等边三角形都是等腰三角形。 （ ）
3.AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，自己根据题意画出图形，试写出图中所有相等的角和相等的线段。
【智力拓展】
4．下面有这样一个图形，你能写出图中共有多少个三角形吗？
5．试一试 ，你能否在一个等腰三角形中，放置一个另外一个同样腰长的等腰三角形？画出图形说明。
6．如图，△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的中点，你能发现△ABC和△CDE的面积有什么关系吗？
7．等腰△ABC中，AB=AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成了周长差为4cm的两个三角形，试求△ABC各边的长。
8.在三角形ABC中，若∠C—∠B=600，∠B—∠A=150，从以上条件中，你能求出∠C的度数吗？试着解答并说明理由。
9．如图，A1，A2，和A3三点，可连成一个三角形；A1，A2，A3，A4四点可连成四个不同的三角形，现在有7个点，即A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，且任意三点都可连成三角形，试问：这7个点最多可连结成多少个不同的三角形？假如是8个点呢？n个点又是怎样的呢？（用含有n的代数式表示）
10.有三条线段a、b、c，当它们满足下列条件时，一定能组成三角形吗？如果不能，请举例说明；如果能，试着说明理由。
（1）a＋b＞c
（2）a＋b＞c ； b＋c＞a
（3）a＋b＞c ； b＋c＞a ；c＋a＞b
11.某市在北边有4个村庄，它们分别恰好位于一个四边形ABCD的四个顶点处，为方便居民用电，市电力局决定，要在4个村庄之间建一个变压器H，以加大供电量，为节约线路，试问，H应建在何处，才能使它到4个村庄的距离和最短？
【整合互动】
12．邀请你的伙伴一起参加，以图中的格点为顶点，能组成多少个直角三角形？用不同颜色的笔画出来，比一比，看谁找的多？
13．和你的父母一起来探究，我们知道：“三角形的内角和为1800。”你能否设计出几种不同的方案，证明出这个性质的正确性呢？（画出图形，简要说明理由），把设计出的方案和你的同学交流一下，看谁的更好。
14．和你们本班的几个同学一起，比一比，看谁说的多？
三角形的稳定性在生活实践中得到了广泛的应用，例如，建筑工人的建筑支架，就是利用了三角形稳定性的道理。实际生活中，还有很多这样的例子，你们能举出多少呢？
想一想，观察一下，四边形具有稳定性吗？你也能举出实例吗？
【数学趣闻连载】
剪刀和纸片（二）
对我来说，这真是一个难题，我只好动脑筋想。哥哥在旁边看着我，似乎也知道我无法解决这个问题。思索再三，我无计可施。“哥哥，你不是开玩笑吧？”我疑惑的问，“这种事怎么可以做到呢！”“你好好动动脑筋……也许你会发现答案。”“我已仔细想过，现在我无法知道怎样做这件事。”“也许你有些地方没弄清楚，还是我来做给你看吧！”
哥哥从我手中接过纸条和剪刀。首先，哥哥将纸条对折，再把纸条从中间剪开，纸条很简单的变成了三部分。
“现在你该懂了吧？”“是呀，不过你怎么可以将纸条对折。”“你自己为什么不对折呢？”
“可是你没有说可以折啊！”“但我也没说不可以折。有问题，你就应该干脆地提出来。”
“你再考我其他的问题，这一次我一定好好想。”
“这里这么多纸条。你能不能让这些纸条的边缘竖立在桌子上，而不是躺在桌子上。”
这一次我不敢大意，经过仔细的思考，我把纸条折成“V”字形，然后放在桌子上。
“你看！，我可以让纸条靠边缘竖立。你没有告诉我不可以对折，所以我这样做。”我得意万分地说。“做的不错》”“还有其他问题考我吗？”我问。
8.3 多边形的内角和与外角和
【教材解读】
本节是三角形有关知识的拓展，学习过程中应使学生探索、归纳多边形的内角和与外角和公式，并能运用于解决计算问题，并从中体验探索、归纳过程，学会合情推理的数学思想方法。
【重点再现】
1． 本节的重点是多边形的内角和、外角和的性质。
2． 本节的难点是这些性质的推出过程的理解。
【难点突破】
填写下表，理解多边形内角和、外角和性质的推导过程。
| 多边形的边数 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8…… | n |
| 分成三角形的个数 | 1 | ||||||
| 多边形的内角和 | 1800 | ||||||
| 多边形的内角与外角的总和 | 3×1800 =5400 | ||||||
| 多边形的外角和 | 3600 |
【知识与生活】
动动手，做一做
有一张五边形纸片，明明一刀把它剪成了一个四边形，龙龙把它剪成了一个五边形，红红一刀把它剪成了一个六边形。自己动手剪一剪，看看他们剪的正确吗？
试着画出剪出的示意图形。
【同步提升】
【必备功底】
1． 填空
（1） 正十边形的内角和等于________每一个内角等于______。
（2）
一个多边形的内角和是外角和的
， 则这个多边形是_____边形。
（3） 在四边形ABCD中，∠A=900，∠B：∠C：∠D=1：2：3，则∠B=_______，∠C=_______，∠D=________。
（4） 在一个六边形中，其中四个内角的和是6000，另外两个内角相等，那么这两个内角的度数都是_________。
（5） 如果一个多边形的每一个外角都等于360，那么这个多边形是_______边形。
2． 选择
（1）一个多边形的对角线的条数与边数相等，这个多边形的边数是（ ）
A 7 B 6 C 5 D 4
（2如果一个多边形中有三个内角相等，其余各角的外角都等于300，则这个多边形的边数不可能是（ ）
A 4 B 6 C 10 D 15
（3）下列命题中，正确的有（ ）
① 七边形有14条对角线。②外角和大于内角和的只有三角形。
③若一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，则它是九边形。
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
【智力拓展】
3． 已知正n边形每一个内角与其外角的差为900，求内角的度数和边数。
4．一个凸多边形，张明在计算它的内角和，一会儿，张明求得内角和是24000，王刚发现张明在计算过程中少算了一个内角的度数，你能推断一下张明少计算的那个内角的度数吗？这个凸多边形是几边形呢？
5．红红和兰兰在玩剪纸游戏时，剪出来了这样的一个图形，如图，你能求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数吗？
5． 在六边形ABCDEF中，如图，EF∥BC，AF∥DC，∠F=1200，∠A=800，你能算出∠B和∠C的度数吗？并简要说明理由。
【整合互动】
7．探索规律：四边形有2条对角线；五边形有5条对角线；六边形有9条对角线；七边形有14条对角线，那么n边形有多少条对角线呢？
【数学趣闻连载】
剪刀和纸片（三）
“当然！听清楚啊，我用浆糊把纸条的两端粘贴起来，就可以做出长长的纸环。你拿着红色和蓝色的铅笔，沿着纸环的外侧，画一个蓝色的大圆圈，在纸环内侧则画上红线。”
“然后呢？”
“这样就好了。”
我觉得这工作简直太无聊。但我却做不好这简单的工作。本来，我想用蓝铅笔沿着纸环外侧，先画出下道蓝圈，再用红笔画纸环内侧。大概是没注意，我在纸环的两面，都用蓝笔画上了圆圈。因此，我自已也觉得很不好意思。
“你能不能给我另一个纸环？”我停一下又说，“因为我一不小心，就把刚才的纸环画坏了。”
虽然哥哥给我另一个纸环，但我依旧宣告失败。不知道为什么，我在纸环的两面都画了相同的颜色。说真的，我自己也搞不清楚是怎么回事。
“不知道为什么？我明明沿着纸环表面画，没想到又失败了。哥哥，再给我一个纸环好不好？”
“好啊，你尽量拿，这一点纸环，我不会吝啬的。”
读者们猜想结果如何？结果我以在红环的两面画出蓝色，我始终没有使用红笔的机会。这时，我不由双手抱头，开始沉思。
8．4正多边形拼地板
【教材解读】
要使学生通过正多边形拼地板的问题，理解正三角形、正方形、正六边形乃至任意三角形、四边形能镶嵌平面的理由，从中体验应用数学知识解决实际问题的过程，学会必要的数学方法。
【重点再现】
1． 本节的重点是了解可以拼在一起的几何图案。
2． 难点是理解能否拼成几何图形的根据。
【难点突破】
通过本节课的学习，我们知道了，用一种正多边形铺地面时，只有________、________、__________三种能铺满地面，你能说出其中的数学道理吗？
【知识与生活】
走在马路上或是公园的小路上，你有没有发现地上铺的地面砖有的虽然很简单，但却能拼出美丽的图案来？构成图案的每一块地砖都是正多边形吗？你能否自己设计一种正多边形地砖，而且能拼出美丽的图案。
【同步提升】
【必备功底】
1．用一批相同的多边形地面砖来铺满地面，要求各个顶点要聚在一起，且砖与砖之间不留空隙，则下列图形不能选用的是（ ）
Ａ．正三角形 B．正六边形 C．正方形 D．正十二边形
２．试一试
用几种正多边形拼在一起，也能铺满地面，你能通过生活中的细心观察，举出几个例子吗？画出图形。
【智力拓展】
3． 制作多个同样大小的任意锐角三角形，拼一拼，看它们能铺满地面吗？任意三角形可以吗？把图形画在下面的方框内。
4． 制作多个同样大小的等腰梯形，拼一看它们能铺满地面吗？任意梯形可以吗？把图形画在下面的方框内。
 | |
（3） （4）
【整合互动】
5．按下列步骤设计图案：
（1） 画一个正方形ABCD；
（2） 去掉两个形状大小一样的直角三角形ABE和DCE；
（3） 将直角三角形ABE和DCE分别放在的位置上直角三角形ADF和DGF处；
（4） 在得到的图形上画出你喜欢的图案；
（5） 再做几个这样的图案，利用它们拼出一个美丽的图案。
【数学趣闻连载】
剪刀和纸片（四）
“这么简单的事情，难道你都不会做吗？”哥哥面露笑容说道，“像这种简单的事情，我马上就可以做到。”
只见哥哥拿着一个新的纸环，好端端地在纸环外侧画上红线，然后递给我看。
因此， 再拿起新的纸环，一面开始画线，一面又小心翼翼，提高警觉，不让这一条移到另一面去。就这样，将纸环旋转一圈，没想到又失败了。我以在纸环两侧都画上同色的线条。我几乎要哭出来，用眼睛偷偷瞄哥哥……只见哥哥露出很狡猾的笑容，在这一刹那，我猜想到失败的理由何在。
“哥哥啊！……你是不是在变魔术？”我正想问。却听见哥哥骄傲地说：“这个纸环有魔力，这是特制的纸环。”
“到底是什么样的纸环啊？外表看起来，和普通的纸环一模一样，难道哥哥装了什么机关吗？”