2004年温州中学数学试验班招生数学试卷
说明:
1、试卷满分120分;考试时间：2小时.
2、试卷共三大题，计18道题。考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。
一、选择题（共8小题，每题4分，共32分）
1、记
…………………………… （ ）
A、一个奇数 B、一个质数
C、一个整数的平方 D、一个整数的立方
2、圆周上共有10个等分点，以其中三点为顶点的直角三角形的个数为………………（ ）
A、20 B、40 C、60 D、80
3、如图1，已知⊙O的半径是R，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为960，弧BD的度数为360，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为………………………（ ）
A、2R B、
C、
D、R
4、已知实数a，b，c满足
则关于x的方程ax2+bx+c=0………………………………………………………（ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、没有实数根 D、不能确定
5、如果一个凸多边形有且仅有三个内角是钝角，那么这种多边形的边数不可能是………………………………………………………………………………（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
6、用六根火柴棒搭成4个正三角形（如图2），现有一只虫子从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了C点，则不同的爬行路径共有………………………………………（ ）
A、4条 B、5条 C、6条 D、7条
7、一次函数
的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为坐标原点，则在△OAB内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数的点共有…………………………………………（ ）
A、90个 B、92个 C、104个 D、106个
8、如果
，
是正整数，则
的最小值是…( )
A、15 B、17 C、72 D、144
二、填空题：（共4小题，每题4分，共16分）
9、设a，b为两个不相等的实数，且满足
，则
的值是
10、如图3，直角梯形ABCD中，∠BAD=900，AC⊥BD，
，则
 |
11、如图4，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则三角形ABC的周长是
12、设
且
则
三、解答题（共6题，共72分）
13、（本题满分14分）
如果一个数能表示成
（
是整数），我们称这个数为“好数”。
（1）判断29是否为“好数”？
（2）写出1，2，3，…，20中的“好数”。
（3）如果
都是“好数”，求证：
是“好数”。
14、（本题满分8分）
如图5所示，阴影部分是陆地，折线ABCDE是河岸，今要将河岸拉直，需在线段DE上找一点M，将河岸ABCDM变成线段AM，并且河面面积保持不变。
请你在图6中画出线段AM（保留作图痕迹），并说明理由。（本题8分）
 |
15、（本题满分12分）
 |
如图7，⊙O的弦AC、BD交于点Q，AP、CP是⊙O的切线，O、Q、P三点共线。求证：
。
16、（本题满分14分）
定义下列操作规则：
规则A：相邻两数a、b，顺序颠倒为b、a，称为一次“变换”。（如一行数1、2、3、4要变为3、1、2、4，可以这样操作：
。）
规则B：相邻三数a、b、c，顺序颠倒为c、b、a，称为一次“变换”。
规则C：相邻四数a、b、c、d，顺序颠倒为d、c、b、a，称为一次“变换”。
现按照顺序排列着1、2、3、…、2004、2005，目标是：经过若干次“变换”，将这一行数变为2005、1、2、…、2003、2004。
问：（1）只用规则A操作，目标能否实现？
（2）只用规则B操作，目标能否实现？
（3）只用规则C操作，目标能否实现？
17、（本题满分12分）
 |
如图8，O是Rt△ABC斜边AB的中点,CH⊥AB于H,延长CH至D,使得CH=DH,F为CO上任意一点,过B作BE⊥AF于E,连结DE交BC于G.
（1）求证：∠CAF=∠CDE；
（2）求证：CF=GF。
18、（本题满分12分）
已知二次函数
（1）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记
两数中较大者为P，试求P的最小值。
（2）若
变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标。
2004年温州中学数学实验班招生考试数学试卷
（参考答案及评分标准）
一、选择题：（每小题4分，共32分）
1~8.CBBAD,CDB
二、填空题：（每小题4分，共16分）
9、—27， 10、1/3 11、30 12、4
三、解答题（共6题，共72分）
13、（本题满分14分）
解答：
（1）
，29是“好数”。（4分）
（2）1，2，3，…，20中的“好数”有1，2，4，5，8，9，10，13，16，17，18，20。（8分）
（3）设
，
是整数。
令
，则是整数，
且
，所以是“好数”。（14分）
14、（本题满分8分）
解答：连接BD，过C作CF∥BD交DE于F，则
。(6分)
连接AF，过B作BM∥AF交DE于M，则
，连接AM即为所求。（8分）
15、（本题满分12分）
证明：连接OA、OB、OD，设DP交⊙O于E，设⊙O的半径为R，可证
（4分）
（8分）
四点共圆，又OD=OB，
，
。（12分）
16、（本题满分14分）
解答：（1）能，实行如下操作：
（4分）
（2）不能，从左到右，把数所占的位置编上号，按照规则B，若数
在
号位置，一次变换后可能是
号位置，所以操作过程中数所占位置的奇偶性不会改变。而1、2、3、…、2004、2005中1在1号位，目标2005、1、2、…、2003、2004中1是2号位，这不可能。（8分）
（3）能，通过如下操作（记为“*操作”）：
可以将一个数往前提4个位置，而其他各数的顺序不变。(12分)
将2001、2002、2003、2004、2005通过“*操作”，可以变为2005、2001、2002、2003、2004，再对1997，1998，1999，2000，2005施行“*操作”，变为2005、1997、1998、1999、2000，如此反复，1、2、3、…、2004、2005可以变为1、2、3、4、2005、5、6、…、2004，最后对1、2、3、4、2005施行“*操作”得到2005、1、2、…、2003、2004。（14分）
15、（本题满分12分）
[解答]：（1）证明：连结BD，
18、（本题满分12分）
[解答]：（1）由过点（1，1）得到：
（3分）
如图所示，当
时
（6分）
