2006年芜湖市鸠江区初中数学竞赛试题
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 | |||
| 第1～5题 | 第6～10题 | 第11题 | 第12题 | 第13题 | 第14题 | ||
| 得分 | |||||||
一、选择题（本题有5小题，每小题6分，共30分）
每小题都只有一个答案是正确的，多选不给分
1．如果多项式
，则
的最小值是
（ ）
（A）2005 （B）2006 （C）2007 （D）2008
2．一架天平因为两臂的长不相等，所以称得物体质量不准．要是把某物体放在天
平的左盘，称得质量是
克，把这一物体放在天平的右盘，称得质量是
克，那么这个物体的准确质量（单位：克）是
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．函数
图象的大致位置如右图所示，则
等代数式
的值中，正数有 （ ）
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个 （第3题图）
4．某工厂实行计时工资制，每个工人工作1小时的报酬是6元，一天工作8小时．但是用于计时的那口钟不准：每69分钟才使分针与时针重合一次，因此工厂每天少付给每个工人的工资是 （ ）
（A）2.20元 （B）2.40元 （C）2.60元 （D）2.80元
5．2条相交的弦把圆分成4部分，3条两两相交的弦最多能把圆分成7部分，如果两两相交的k条弦最多能把圆分成n部分，那么两两相交的k＋1条弦最多能把圆分成几部分？答：（ ）
（A）n＋1 （B）2n （C）n＋k （D）n＋k＋1
二、填空题（本题有5小题，每小题6分，共30分）
6．如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，
若
=8，则AB等于 ．
7．若
，
，则
．
8．已知不论
取何数值，分式
的值都为同一个定值，
（第6题图）
那么
的值为
．
9．如图，在□ABCD中，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，E，F为垂足. 设□ABCD的面积为 S，则△AEF的面积为 ．
10．若二次函数
的图象的顶点在
第一象限，且过点（0，1）和（－1，0）．
则
的值的变化范围是
．
（第9题图）
三、解答题（本题有4小题，每小题15分，共60分）
11．甲、乙两辆公共汽车分别自A、B两地同时出发，相向而行．甲车行驶85千米后与乙车相遇，然后继续前进．各车到达对方的出发点等候30分钟立即依原路返回．当甲车行驶65千米后又与乙车相遇，求A、B两地距离．
12．如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的半圆O，且AB=AD，DA、CB的延长线相交于点P，CE⊥PE，PB=BO．已知DC=18，求DE的长．
13．（1）试设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形（分得的正方形大小可以不相同）；又问如何把正方形按上述要求分成31个正方形？
（2）试设计一种方法，把一个立方体分割成55个立方体（要求：不重复不遗漏，分得的立方体大小可以不相同）．
14．如图，AB、CD是半径为1的⊙P两条直径，且∠CPB=120°，⊙M与PC、PB及弧
都相切，O、Q分别为PB、弧
上的切点．
(1)试求⊙M的半径
；
(2)以AB为轴，OM为
轴(分别以OB、OM为正方向)建立直角坐标系，
①设直线
过点M、Q，求
，
；
②设函数
的图像经过点Q、O，求此函数解析式；
③当＜0时，求x的取值范围；
④若直线与抛物线的另一个交点为E，求线段EQ
的长度．
2006年鸠江区初中数学竞赛参考答案
一、选择题（每小题5分，共30分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 答案 | B | B | A | C | D |
1．B
，故最小值为2006．
2．B
设物体的准确质量为x，左右两臂长分别为a，b，则
．
两式相乘，约去正数ab，得
．
3. A
显然，
由
，得
，所以
；
由a－b＋c<0得
；
由a＋b＋c>0得a＋b>－c>0，因此
．
综上所述，仅有
为正数．
4．C
正常的时钟，分针与时针重合一次的时间为
分，因此，工人一天实
际工作时间为
（小时），超过
（小时）．
少付工资
元．
5．D
第k＋1条直线与前面的k条直线都相交，且不经过原有的任何一个交点，因此
把前k条直线为边界的（k＋1）个区域一分为二，增加了（k＋1）个区域，结
果区域总数成为n＋k＋1．
二、填空题（每小题6分，共30分）
6．4
作E关于AB的对称点G，则PG=PE，PG⊥PE，
．
但FG所对的圆周角为45°，所以FG所对的圆心角为90°，圆的半径为2．
7．
，
∴
．
8．
当
时，分式值为
．
所以当
时，
，
，
．
9．
由△ABE∽△ADF得
,即
，
易证∠B=∠EAF，可知△AEF∽△ABC，相似比为
．
但△ABC的面积为
，所以△AEF的面积为
．
10．
分别令，
和
，
，求得
，
，∴
．
由题设知，
，∴
．又由
及
可知
．
∴．
三、解答题（每小题15分，共60分）
11．设甲车的速度为x(千米/时)，乙车的速度为y(千米/时)，A、B两地的距离为S(千米) …………（2分）
则
…………（6分）
即
…………（8分）
①÷②得 
…………（12分）
去分母，化简得S2-190S=0
S＝0(舍) S＝190 …………（14分）
答：A、B两地的距离为190千米。 …………（15分）
12．如图，连结
，
．……（1分）
由
知，
.…（2分）
又
，
所以
，∥
.…（4分）
∵ 
，
∴ 
,
.…（6分）
由切割线定理知
·
·
，
·
，……（8分）
∴ 
. ∴ 
.…………（10分）
∵ 
△
∽△
，…（12分）
∴ 
，
，…（14分）
∴ 
.…………（15分）
13．（1）容易把一个正方形分成42=16个正方形，再把其中位于一角的9个拼成一个正方形，共得：16﹣9+1=8个正方形. …………（5分）
分成16个正方形后，把其中任意5个分成4个小正方形，共有16﹣5+5×4=31个正方形. …………（10分）
（2）把立方体分割成33=27个立方体，再把其中4个各分成23=8个立方体，共27﹣4+4×23=55个立方体. …………（15分）
14．(1)由
，
，
得 
-
.
…………（2分）
(2)①点
，即
；点
，即
.
由已知直线过点
、
，得 
,
,
解得 
，. …………（5分）
②由过点
、，则
,
，得 
,
即得 
.
…………（8分）
③令
，则
，
,
即得 当
时，
.
④由已知得 
，
，
消去，得 
. …………（12分）
设点
的横坐标为
，点的横坐标为
，
由根与系数的关系得 
，
则
…………（14分）
进而得线段
的长为
.
…………（15分