2006年越秀区初中毕业班综合测试（一）
数学试题
注意：1. 本试卷分试题卷和答题卷两部分，试题卷1至6页，答题卷7至14页. 其中试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，全卷共三大题25小题，共150分.考试时间120分钟.
2. 可以带计算器进考场.
3. 所有试题的答案都要写在答题卷上，否则不给分.考试结束，考生须将试题卷、答题卷一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
注意：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目等用铅笔填涂在答题卡上.
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.不能答在试题卷上.
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题有且只有一个正确答案）
1. 
的相反数是（
* ）.
(A) (C) 
(B) 
(D) 2006
2. 抛掷一枚质量均匀的硬币，如果正面朝上则甲赢，反面朝上则乙赢，这游戏（ * ）.
(A) 甲赢的机会大 (B) 乙赢的机会大
(C) 对甲、乙两人是公平的 (D) 乙一定赢
3. 已知，在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 46°，那么△ABC的形状为（ * ）.
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形
4. 下列事件中，是必然事件的是（ * ）.
(A) 明天你上午9时起床
(B) 太阳每天从东方升起
(C) 一名跑步运动员和一名小胖子进行跑步比赛，运动员一定赢
(D) 任选一个自然数，都能选出一个偶数
5. 一元二次方程
在实数范围内的根的情况是（
* ）.
(A) 无根 (B) 一个根 (C) 两个根 (D) 以上答案都不对
6. 下列立体图形中：① 长方体 ② 圆锥 ③ 圆柱 ④ 球
左视图可能是长方形的有（ * ）.
(A) ① (B) ①② (C) ①③ (D) ①④
7. 如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AC、BD交于点O，OM⊥AB，垂足为M，AD =3，BC= 4，则OM与BC的比值为（ * ）.
(A) 
(B) 
(C)
(D)
|
8. 已知等边三角形的边长为x，则它面积y与边长x之间的关系用图象大致可表示为（ * ）.
(A) (B) (C) (D)
9. 图2是甲、乙两人去年全年各项投资总额的条形统计图。根据统计图，下面对两人的国债投资占各自总投资的比例判断正确的是（ * ）.
(A) 甲比乙多 (B) 乙比甲多
(C) 甲、乙两一样多 (D) 无法确定哪一人多
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10. 如图3，已知点A(-2，0)和点B(1，1)，在坐标轴上确定点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C共有（ * ）.
(A) 6个 (B) 7个 (C) 8个 (D) 9个
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2006年越秀区初中毕业班综合测试（一）
数学试题
第Ⅱ卷（非选择题 共120分）
注意：1. 填空题的答案写在答题卷中与该题相应的横线上.
2. 第三大题的解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程.
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
11. 下列各式中，整式有 * （只需填入相应的序号）.
①
②
③
④
a
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∠B=65º，则∠BAC= * ．
|
|
13. 在如图5所示的圆形射击靶中，所有黑、白正三角形都全等．小明向靶子射击一次，若子弹打中靶子，则子弹刚好穿过黑色区域的概率是 * ．
14. 在实数范围内因式分解：3x2-4x-2= * .
15. (1) 观察如图6所示的函数图象，可估计方程x2= x+1的近似解．
在下列四个范围中：①
；②
；③
；④
.
该方程的解所在的范围有 * .（填入序号即可）
(2) 用计算器估计方程x2= x+1的近似解为 * .（精确到0.1）
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16．现有六个完全一样的□ABCD（如图7(a)所示），当□ABCD满足条件
* 时，它们可以经过旋转和平移得到如图7(b)所示的正六边形.
三、解答题（本大题共9小题，满分102分）
17. （本小题满分9分）
先化简下面的代数式，再求值：
，其中
.
18. （本小题满分9分）
如图8，在Rt△ABC中，∠C =
90°，AC= BC， D、E、F分别是AC、AB、BC边上的中点．
求证：四边形CDEF是正方形．
|
解分式方程：
20. （本小题满分10分）（用尺规作图，不写作法，保留
作图痕迹）
已知：如图9是一个三边互不相等的锐角△ABC
求作：(1) △ABC的外接圆；
|
且“△ABD≌△ABC”是假命题．
21. （本小题满分12分）
已知直线l：
与函数y =
的图象交于点A(-1，m)
(1) 求m；
(2) 当k = * 时，则直线l经过第一、三、四象限（任写一个符合题意的值即可）；
(3) 求(2)中的直线l的解析式和它与两坐标轴围成的三角形面积．
22. （本小题满分12分）
仅仅19个月，大学城创造了惊人的“广州速度”．2005年有了它，名牌高校A面向广东招生人数比2003年增加50%，名牌高校B面向广东招生人数比2003年增加70%；仅这两所名牌高校面向广东招生总人数就从2003年的5000人增加到2005年的7900人．
(1) 设名牌高校A和名牌高校B在2003年面向广东招生的人数分别为x人、y人，则名牌高校A和名牌高校B在2005年面向广东招生的人数分别为 * 人、
* 人；（用x、y表示）
(2)求这两所名牌高校2005年面向广东招生的人数分别是多少？
23. （本小题满分12分）
小丽今年平均每月预计在工作时间内（9∶00~11∶00和11：00-17：00）要拨打电话100分钟（本题中均指拨打本地电话）和接听电话100分钟，她对自己一月份在工作时间内的通话情况进行了统计，结果如表1：
表1 小丽一月份在工作时间内的通话情况统计表
| 拨打 | 接听 | |||
| 时段 | 拨打时间 | 各时段拨打时间 占拨打总时间的百分比 | 接听时间 | 各时段接听时间 占接听总时间的百分比 |
| 9∶00~11∶00 | 32分钟 | 25% | 12分钟 | 20% |
| 11∶00~17∶00 | 96分钟 | 75% | 48分钟 | 80% |
| 合计 | 128分钟 | 100% | 60分钟 | 100% |
(1)请你参照表1中各时段拨打时间占拨打总时间的百分比和接听时间所占接听总时间的的百分比，估算出小丽今年平均每月分别在两个时段内拨打和接听电话的时间；
(2)请利用（1）中的结果和表2给出的信息为小丽推荐一个最经济的服务（只能在全球通、神州行、大众卡这三种服务中选用其中一种服务，不能两种或三种服务一起用），为什么？
表2 三种移动电话业务的收费办法对照表
| 服务 名称 | 月租 | 话费 | |||
| 拨打 | 接听 | ||||
| 全球通 | 50元/月 | 0.4元/分 | 全免 | ||
| 神州行 | 全免 | 0∶00~11∶00 | 11∶00~24∶00 | 0∶00~11∶00 | 11∶00~24∶00 |
| 0.29元/分 | 0.49元/分 | 0.19元/分 | 0.39元/分 | ||
| 大众卡 | 28元/月 | 22∶00~第二天18∶00 | 18∶00~22∶00 | 全免 | |
| 0.15元/分 | 0.2元/分 | ||||
24. （本小题满分14分）
如图10，在矩形ABCD中，AB=3， P是射线AD上一点（除端点外），过三点A、B、P作⊙O．
(1)
当BC
= 4，AP = 3时，求
的值，并判断CD与⊙O的位置关系，证明你的结论；
(2) 当BC = 4时，如果CD与⊙O相切，如图(b)，求BC边被⊙O所截得的弦长；
(3) 如果当BC= a(a>0)时，无论点P是射线AD上任一点（除端点外），直线CP都与⊙O相交，如图(c)，求a的取值范围．
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25. （本小题满分14分）
如图11(a)，已知直线EA与两坐标轴轴分别交于点E、A(0，2)，过直线EA上的两个点F、G分别作
轴的垂线，垂足分别为M(m，0)、N(n，0)，其中m<0，n>0．
(1) 如果m = -4，n = 1，试计算线段AN和AM的长，并判断△AMN的形状；
(2) 如果mn = -4，(1)中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
(3) 如图(b)，题目中的条件不变，如果mn = - 4，并且ON = 4，求经过M、A、N三点的抛物线方程；
(4) 在(3)中，如果抛物线的对称轴与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的Q点坐标．
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2006年越秀区初中毕业班综合测试（一）
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
D C A B A C B A B D
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. ①③④（第11题答对一个得1分，全对得3分，错答不给分）；12. 
；
13. 
；14. 3(x -
)( x -
)；15. （1）②④；（2）x≈1.6或x≈-0.6；
（第15题（1）答对一个得1分，全对得2分；第15题（2）答对得1分，错答或漏答不给分）
16. 答案不唯一，如：∠A = 120°且BC=2AB（ “边的关系”和“角的关系”答对1个得2分，全对得3分）
三、解答题（本大题共102分）
17、（本小题满分9分）
解：原式=
……………5分
=
………………6分
当时
原式=
=
……………8分
=
………………9分
18、（本小题满分9分）
证明：方法一：∵D、E分别是AC、AB边上的中点
∴DE∥BC，DE=
BC
………………………………………2分
同理∵EF∥AC，EF=AC
………………………………………3分
∴四边形CDEF是平行四边形 ………………………………………5分
∵∠C = 90°
∴□CDEF是矩形 ……………………………………………6分
又∵AC= BC
∴DE = EF ……………………………………………8分
∴矩形CDEF是正方形 ……………………………………………9分
方法二：∵D、E分别是AC、AB边上的中点
∴DE∥BC，DE=BC ………………………………………2分
又∵CF=BC
∴DE= CF ……………………………………………4分
∴四边形CDEF是平行四边形 ………………………………………5分
∵∠C = 90°
∴□CDEF是矩形 ……………………………………………6分
又∵CD =AC，AC= BC
∴CD = CF ……………………………………………8分
∴矩形CDEF是正方形 ……………………………………………9分
方法三：∵D、E分别是AC、AB边上的中点
∴DE∥BC ………………………………………2分
∵∠C = 90°
∴∠ADE = 90° ……………………………………………4分
同理∠BFE = 90° ……………………………………………5分
∴四边形CDEF 是矩形 ……………………………………………6分
∵DE=BC，EF=AC，AC= BC
∴DE = EF ……………………………………………8分
∴矩形CDEF是正方形 ……………………………………………9分
方法四：∵D、E分别是AC、AB边上的中点
∴DE=BC ………………………………………2分
∵CF=BC
∴DE = CF
同理 EF=DC ……………………………………………3分
又∵CD =AC，AC= BC
∴CD = CF ……………………………………………5分
∴CD = CF= DE =EF ……………………………………………6分
∴四边形CDEF 是菱形 ……………………………………………7分
∵∠C = 90° ……………………………………………8分
∴菱形CDEF是正方形 ……………………………………………9分
（此题还有其他的证明方法，不再一一列举，酌情分步给分）
19、（本小题满分10分）
解：方程两边同时乘以x-2可得………………………………………………………………1分
1+3(x-2)=x-3…………………………………………………………………………4分
1+3x-6=x-3 ………………………………………………………………………6分
3x-x= -3-1+6
2x= 2
x=1…………………………………………………………………………8分
检验：把x=1代入x-2，得x-2=1-2= -1≠0 …………………………………………9分
∴x=1为原方程的解．…………………………………………………………………10分
20、（本小题满分10分）
解： 画出外接圆 ………………………………………………5分
画出△ABD ………………………………………………8分
∴△ABD和⊙O为所求……………………………………………10分
21、（本小题满分12分）
(1) 解：依题意得m = 
= -2 ………………………………2分
(2)答案不唯一（0<k<2即可），如：k = 1 ……………………………………………4分
(3)答案不唯一，评分标准参照以下例子：(k = 1)
依题意得 -1+b = -2 …………………………………………………………………6分
解得 b = -1 ………………………………………………………………7分
∴所求直线l的方程为y = x –1 ……………………………………………………8分
令y = 0 则x–1= 0，解得x = 1
∴直线l与x轴的交点为B(1，0)，与y轴的交点为C(0，-1) …………………………10分
∴S△OAB = 
= ×1×1=，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为. …12分
22、（本小题满分12分）
解：(1)设重点大学A和重点大学B在2003年面向广东招生的人数分别为x人、y人，则重点大学A和重点大学B在2005年面向广东招生的人数分别为(1+50%)x人、(1+70%)y人 ………………………………………………………………………………………………2分
(2)依题意得
……………………………………6分
解得
……………………………………………9分
∴(1+50%)x = (1+50%)×3000 = 4500
(1+70%)y= (1+70%)×2000 = 3400 ……………………………………………11分
答：重点大学A和重点大学B在2005年面向广东招生的人数分别为4500人、3400人.
……………………………………………12分
23、（本小题满分12分）
解：(1) 小丽今年平均每月分别在两个时段内拨打和接听电话的时间如下表：
9∶00~11∶00时段：拨打电话25 分钟，接听电话20 分钟 ……………2分
11∶00~17∶0时段：拨打电话75 分钟，接听80 电话分钟 ……………4分
(2) 方案一：选用全球通，则平均每月费用为50 + 0.4×100 = 90（元）………………6分
方案二：选用神州行，则平均每月费用为
25×0.29 + 75×0.49 + 20×0.19 + 80×0.39 =79（元） ………………8分
方案三：选用大众卡，则平均每月费用为28+100×0.15 = 43（元）………………10分
∵ 43< 79 < 90 ∴ 方案三：选用大众卡最经济。…………………………………12分
24、（本小题满分14分）
解：(1) =
……………………1分
过点O作EF∥AD，分别交AB、CD于点E、F
则
，点E、F分别是AB、CD的中点，EF = BC = 4
∴OE =AP = 
∴OF = EF–OE = 4–= 
在Rt△APB中
∴PB =
= 
= 3
∴OP =
PB = 
∵>
∴OF > OP
∴CD与⊙O相离 …………………………………4分
(2) 设BC与⊙O交于点M，连结PM
在△ABP和△MPB中
∵
∴△ABP≌△MPB
∴AP= MB …………………………5分
设MB = AP = x (x>0)
则OE =AP = 
OF = EF–OE = 4–
PB = 
= 
OP = PB = 
……………………6分
∵CD与⊙O相切
∴OF = OP
∴4–= …………………………8分
解得 x
= 
∴BC被⊙O截得的弦长为 ………………………………………………………9分
(3)∵点P在⊙O上 ∴CP只可能与⊙O相切或相交
令PC与⊙O相切于点P，连结PC，则∠CPB=∠BAP=90°
由∠5 + ∠6 = 90°，∠7 + ∠6 = 90° ∴∠5 = ∠7
∴△ABP∽△PCB
∴
=
即BP 2 = AP·CB ……………………………………………11分
设AP = x (x>0)
∴BP =
=
∴x 2 + 9 = ax 即 x 2 - ax + 9 = 0 ……………………………………………12分
∴方程x 2 - ax + 9 = 0有正实数解，设方程x 2 - ax + 9 = 0的两实数根分别为x1、x2
又∵
∴△= a2-4×1×9= a2-36
令y= a2-36，观察其函数图象,考虑到 a>0,得
当a ≥ 6时，△≥0
∴当0< a < 6时，CP不可能与⊙O相切，无论点P是
边AD上任一点（除端点A外），CP都与⊙O相交……………………………14分
（以上各步均可逆）
25、（本小题满分12分）
(1) 解：△AMN是直角三角形……………………………… 1分
依题意得OA=2，OM=4，ON = 1，∴MN = OM+ ON = 4+ 1 = 5
在Rt△AOM中，AM =
=
=
………2分
在Rt△AON中，AN =
=
=
…………3分
∴MN 2 = AM 2 + AN 2
∴△AMN是直角三角形………………………………………4分
(2)答：(1)中的结论还成立 …………………………………5分
依题意得OA=2，OM= -m，ON = n
∴MN = OM+ ON = n-m
∴MN 2 = (n-m) 2 = n 2-2mn + m 2
∵mn = -4
∴MN 2 = n 2-2×(-4) + m 2= n 2+ m 2 + 8
又∵在Rt△AOM中，AM ==
=
在Rt△AON中，AN ==
=
∴AM 2 + AN 2 = 4 + m 2+4 + n 2= n 2+ m 2 + 8
∴MN 2 = AM 2 + AN 2……………………………………7分
∴△AMN是直角三角形
(3) ∵mn = -4，n=4
∴
…………………………………8分
设抛物线的解析式为y = a (x +1) (x –4)．
∵抛物线经过点A(0，2) ∴–4a = 2 解得a =–
∴所求抛物线的解析式为y = – (x +1) (x –4)
即y = –x2
+
x +2 ………10分
(4) 抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件，
∵l⊥MN，∠ANM = ∠PN Q1，∴Rt△PN Q1∽Rt△ANM
∵抛物线的对称轴为x
=，∴该点坐标为Q1(，0)
……………………………………… 11分
∴NQ1= 4–=
过点N作NQ2⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q2
∴Rt△P Q2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM两两相似
∴
即Q1Q2
=
∵点Q2位于第四象限，∴Q2(，
)………………………………………13分
因此，符合条件的点有两个，分别是Q1(，0)，Q2(，)……………14分