2004年龙岩市初中毕业、升学考试
数学试题
（满分：150分 考试时间120分钟）
一、填空题（本题共12小题,每小题3分，计36分.）
1. 
的相反数是__________.
2. 因式分解：
=__________.
3. 2004年4月6日《闽西日报》刊载：龙岩市统计局公布去年我市各级各类学校在校生约为620000人，用科学记数法表示为__________人.
4.
当
时，分式
的值为零.
5.
函数
的自变量
的取值范围是__________.
6. 如图所示，
，c与a、b相交，若
，则
=__________度.
7. 正八边形的每一个外角等于__________度.
8. 小明的身高是1.6m，他的影长是2m，同一时刻旗杆的影长是15m，则旗杆的高是__________m.
9.
装修工人拟用某种材料包装圆柱体的石柱侧面，现量得石柱底面周长约为0.9m，柱高约为3m，那么至少需用该材料 m2.
10. 把一块周长为20cm的三角形铁片裁成四块形状、大小完全
相同的小三角形铁片（如图示），则每块小三角形铁片的周
长为 cm.
11.
如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为12m，
，
则中柱BC（C为底边中点）的长约为 m.（精确到
0.01m）
12.
若a、b满足
，则
的值为 .
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，计32分；每小题都给出四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，把正确答案的代号填入下表中）
13. 下列各式中，运算正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
14. 若矩形的面积S为定值，矩形的长为a，宽为b，则b关于a的函数图象大致是
15. 某商品标价1200元，打八折售出后仍盈利100元，则该商品进价是
（A）800元 （B）860元 （C）900元 （D）960元
16.
计算
的结果为
（A）0
（B）1
（C） -3 （D）
17. 顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形是
（A）梯形 （B）矩形 （C）菱形 （D）正方形
18. 商店里出售下列形状的地砖：1正三角形 2正方形 3正五边形 4正六边形，只选购
其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有
（A）1种 （B）2种 （C）3种 （D）4种
19. 在半径为2a的⊙O中，弦AB长为
，则
为
（A）
（B）
（C）
（D）
19. 如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，若弦
MN的两端在圆周上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到
MN的距离分别为h1、h2，则 h 1- h 2等于
（A）5 （B）6
（C）7 （D）8
三、解答题：（共大题共8小题，计82分）
21. （9分）先化简，再求值：
，其中
.
22.
（9分）今年4月25日，我市举行龙岩冠豸山机场
首航仪式，利用这一契机，推出“冠豸山绿色之旅”
等多项旅游项目.“五一”这天，对连城八家旅行社
中部分游客的年龄（年龄取整数）进行了抽样统计，
经整理后分成六组，并绘制成频率分布直方图（如
图示）.已知从左到右依次为1~6小组的频率分别
是0.08 、0.20、0.32、0.24、0.12 、0.04，第1小
组的频数为8，请结合图形回答下列问题：
（1）这次抽样的样本容量是 ；
（2）样本中年龄的中位数落在第 小组内；
（3）“五一”这天，若到连城豸的游客约有5000人，请
你用学过的统计知识去估计20.5）~50.5年龄段的
游客约有 人.
23. 
（8分）如图，ABCD是一张矩形纸片，点O为矩形对角线的交点.直线MN经过点O交AD于M，交BC于N.
操作：先沿直线MN剪开，并将直角梯形MNCD绕点O旋
转 度后（填入一个你认为正确的序号：1；
2
；3
；4
），恰与直角梯形NMAB完全重
合；再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转
后所得到的图形是下列中的 .（填写正确图形的代号）
 |
24. （10分）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| a | 22-1 | 32-1 | 42-1 | 52-1 | … |
| b | 4 | 6 | 8 | 10 | … |
| c | 22+1 | 32+1 | 42+1 | 52+1 | … |
（1） 请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：
a = ，b = ，c = .
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.
25. （10分）已知关于x的方程
的两实根x1、x2满足： x1+ x2=2，试求k的值.
26. （10分）为加强公民节约用水，减少污水排放的环保意识，某城市制定了以下用水收费标准（含城市污水处理费）：每户每月用水未超过8 m3时，按1.2元/ m3收费；每户每月用水超过8 m3时，其中的8 m3仍按原标准收费，超过部分按1.9元/m3收费.设某户每月用水量为x(m3)，应交水费为y(元).
（1）分别写出用水未超过8m3和超过8m3时，y与x之间的函数关系式；
（2）某用户五月份共交水费13.4元，问该用户五月份用水多少m3.
27. （12分）如图，已知⊙O1为△ABC的外接圆，以BC为直径作⊙O2，交AB的延长线于D，连结CD，且∠BCD=∠A.
（1）求证：CD为⊙O1的切线；
（2）如果CD=2，AB=3，试求⊙O1的直径.
28. （14分）如图，已知抛物线C：
与x轴交于点A、B两点，过定点的直线l：
交x轴于点Q.
（1）求证：不论a取何实数（a≠0）抛物线C与直线l总有两个交点；
（2）写出点A、B的坐标：A（ ， ）、B（ ， ）及点Q的坐标；Q（ ， ）（用含a的代数式表示）；并依点Q坐标的变化确定：当 时（填上a的取值范围）， 直线l与抛物线C在第一象限内有交点；
（2） 
设直线l与抛物线C在第一象限内的交点为P，是否存在这样的点P，使得∠APB=90°？若存在，求出此时a的值；不存在，请说明理由.
2004年龙岩市初中毕业、升学考试
参考答案及评分标准
一、填空题（每小题3分，共36分）
1. 3； 2. x (x -1)( x +1); 3. 6.2×105; 4. 2;
5. x≥-2; 6. 130; 7. 45; 8. 12;
9. 2.7; 10.
10;
11.2.93;
12. 
二、选择题（本大题共4小题，计32分）
| 题号 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 答案 | D | C | B | A | C | C | B | B |
三、解答题（本大题共8小题，计82分）
21. （9分）解：原式=
………………………………………………（2分）
=
=
…………………………………………………………（6分）
当时，
原式=
………………………………………………（9分）
22. （9分）（1）100 （2）3 （3）3800……………………………………（每空3分）
23. （8分）2； （D）………………………………………………………（每空4分）
24. （10分）（1）n2-1 2 n n2+1…………………………………（每空2分，计6分）
（2）答：以a、b、c为边的三角形是直角三角形…………………………………（7分）
证明：∵a2+ b2=(n2-1)2+4 n2
= n4-2 n2+1+4 n2= n 4+2 n2+1=( n2+1)2=c2
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形……………………………（10分）
25. （10分）解法一：依题意，
，所以x1与x2同号……（2分）
1. 当x1>0，x2>0时，有x1+ x2=2，即k+1=2，k=1无解。
2. 当x1<0，x2<0时，有-( x1+ x2)=2，即k+1=-2，k=-3…………………………（6分）
Δ=[-4(k+1)]2-16(k2+1)=32k ………………………………………………………（7分）
当k =1时，Δ>0符合题意；
当k =-3时，Δ<0舍去。
所以，满足题意的k的值为1………………………………………………………（10分）
解法二：依题意，Δ=[-4(k+1)]2-16(k2+1)=32k≥0，即k≥0………………（2分）
于是x1+ x2=k+1>0………………………………………………………………（4分）
又
∴x1>0，x2>0……………………………………………………………………（7分）
由 x1+ x2=2，得x1+ x2=2
k+1=2，解得k=1。
所以，满足题意的k的值为1。………………………………………………（10分）
26. （10分）解：（1）当x≤8时，y=1.2x……………………………………（3分）
当x>8时，y=1.9x-5.6…………………………………（6分）
（写成y=8×1.2+(x-8)×1.9，不扣分）
（2）∵8×1.2=9.6<13.4
∴y=13.4应满足y=1.9x-5.6
∴13.4=1.9x-5.6 解得x=10…………………………………………………（9分）
答：该用户五月份用水10m3 .
27. （12分）（1）证法一：过点C作
⊙O1的直径CE，并连接
BE………………………………（1分）
∵∠BCE=∠A，∠E=∠A
∴∠BCD=∠………………………（3分）
∵CE为⊙O1的直径
∴∠CBE=…………………………（4分）
∴∠E+∠ECB=90°
∴∠BCD+∠ECB=90°
即EC⊥CD
∴CD为⊙O1的切 ………………（6分）
证法二：过C作⊙O1的直径CE，连AE，利用圆内接四边形的外角的性质进行证明。
证法三：连OO1、O1O2并延长O1O2交
于点M，利用圆心角关系进行证明。
（2）解法一：∵CD为⊙O1的切线
∴CD2=DB·DA=DB·（DB+AB）由CD=2，AB=3
解得DB=1，DB=-4（舍去）…………………………………（8分）
∵CB为⊙O2的直径
∴∠D=90°，则
……（9分）
∴△BCD∽△CEB
∴
∴
，解得CE=5……………………………………（12分）
解法二：在求出DB=1的基础上，过O作OF⊥AB垂足为F，由四边形O1CDF是矩形进行解答；
解法三：在求出DB=1的基础上，由△O1O2C∽△COB可求出半径；
解法四：在求出DB=1的基础上，根据勾股定理，求AC；由△CDB∽△CAE可求出直径。
28. （14分）
（1）证明：由
消去y，得
……………………………………………………（2分）
∴不论a(a≠0)取何实数，方程组有两组不同的实数解，故不论a(a≠0)取何实数，抛物线C与直线l总有两个交点……………………………………（3分）
（2）A（-2，0），B（3，0），Q（2a，0）………………（每点坐标1分，共6分）
（写成a>0或a<
只能给1分）…………………………………（8分）
（3）设存在满足条件的点P（x0，y0）(x0>0，y0>0)，连AP、PB，使∠APB=90° ，作PN⊥AB于N，则AN= x0+2，BN=3- x0，PN= y0
∵∠APB=90°，PN⊥AB，则△APN∽△PBN。
∴PN2=AN·BN，则有
=( x0+2)(3- x0)
即=-
+ x0+6 1………………………………………………………（11分）
∵点P（x0，y0）在抛物线C上
∴
即
2
由1、2可得
………………………………（13分）
把
代入2，得
或-1，
把
代入
，得
∴存在满足条件的P点，此时……………………………………（14分）
二、设存在满足条件的点P（x0，y0），连PA、PB，使∠APB=90°
在Rt△APB中，斜边的中点
，过点P作PN⊥AB，垂足为N，N的坐标为(x0，0),连接PM，由Rt△PMN，得MN2+PN2=PM2
由 
整理，得
3-4得，
……
三、设存在满足条件的点P（x0，y0），连PA、PB，使∠APB=90°
过点P作PN⊥AB，垂足为N，根据勾股定理得
即
整理得
解方程组：
……