玉林市2005年中考数学试题
数学试卷
(本试卷共八大题，满分120分，考试时间120分钟)
一、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请将答案直接填写在题中的横线上．
1．若-m=4，则m= ．
2．冷库A的温度是-5℃，冷库B的温度是-15℃，则温度高的是冷库 ．
3．不等式3x-9≤0的解集是 ．
4．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是2和4，01O2=6，则⊙O1与⊙O2的位置关系是 ．
5．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图1的位置，若∠AOD=11O°，则∠BOC= ．
6．解方程(x2-5)2-x2+3=0时，令x2—5=y，则原方程变为 ．
7．把如图折叠成正方体，如果相对面的值相等，则一组x、y的值是 ．
8．(本小题任选择其中一个方案作答)
方案一：在启动的科学计算器上顺次按键后，显示结果(结果保留三个有效数字)是
附按键：
方案二：若正方体的体积是2004，则正方体的棱长(结果保留三个有效数字)是 ．
附立方表
| N | O | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0．20 2．O 20 | 0．5848 1.260 2.7 14 | 0.5858 1.262 2.719 | 0．5867 1.264 2.723 | 0．5877 1.266 2.728 | 0．5887 1.268 2.732 | 0．5896 1.270 2.737 | 0．5 906 1.272 2.741 | 0．59 15 1.274 2.746 | 0.5925 1.277 2.750 | 0．5934 1.279 2.75 5 |
9．观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……
从第1个球起到第2004个球止，共有实心球 个．
10．某电信公司推出手机两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图3，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差 元．
二、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请将你认为正确答案的序号填在题后的括号内．
11．下列运算正确的是( )．
A． 6a+2a=8a2 B． a2÷a2=0
C． a-(a-3)=-3D． D.a-1·a2=a
12．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为( )．
A．3:4 B．2:3 C．3：5 D．1:2
13．因式分解4—4a+a2，正确的是( )．
A．4(1-a)+a2 B．(2-a)2 C． (2-a)(2-a) D． (2+a)2
14．下列命题错误的是( )．
A．等边三角形的各边相等、各角相等 B．等边三角形是一个轴对称图形
C．等边三角形是一个中心对称图形 D．等边三角形有—个内切圆和一个外接圆
15．如图4，P1、P2、P3是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10、P2A20、P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则( )．
A． S1<S2<S3 B． S2<S1<S3 C．S1<S3<S2 D．S1=S2=S3
16．宾馆客房的标价影响住宿百分率．下表是某一宾馆在近几年旅游周统计的平均数据：
| 客房价(元) | 160 | 140 | 120 | 100 |
| 住宿百分率 | 63.8％ | 74.3％ | 84.1％ | 9 5％ |
在旅游周，要使宾馆客房收入最大，客房标价应选( )．
A．160元 B．140元 C．120元 D．100元
17．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过点A的直线CD分别与⊙O1、⊙O2交于C、D，经过点B的直线EF分别与⊙O1、⊙O2交于E、F，且EF∥01O2．下列结论：
①CE∥DF； ②∠D=∠F； ③EF=201O2．必定成立的有( )．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
18．如图，⊙0的直径AB=8，P是上半圆(A、B除外)上任一点，∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC、BC的中点M、N，则EF的长是( )．
A．4
B．2 C．6 D．2
三、本大题为解答题，满分共76分，解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤．
三、本大题共3小题，满分共15分．
19．(本小题满分5分)
20．(本小题满分5分)
已知两个分式：A=
，B=
，其中x≠±2．
下面有三个结论：①A=B； ②A、B互为倒数； ③A、B互为相反数．
请问哪个正确?为什么?
21．(本小题满分5分)
甲、乙两位同学五次数学测验成绩如下表：
| 测验(次) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 平均数 | 方差 |
| 甲(分) | 75 | 90 | 96 | 83 | 81 | ||
| 乙(分) | 86 | 70 | 90 | 95 | 84 |
请你在表中的空白处填上适当的数，用学到的统计知识对两位同学的成绩进行分析，并写出一条合理化建议．
四、本大题共2小题，满分共14分．
22．(本小题满分7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC，DE∥BC．
求证：DE=EC．
23．(本小题满分7分)
如图，AB与CD相交于E，AE=EB，CE=ED，D为线段FB的中点，CF与AB交于点G，若CF=15cm，求GF之长．
五、本大题共2小题，满分共16分．
24．(本小题满分8分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴的负半轴相交于A、B两点，与y轴的正半轴相交于C点，与双曲线y=
的一个交点是(1，m)，且OA=OC.求抛物线的解析式．
25．(本小题满分8分)
今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．
(1)已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?
(2)在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的
后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好?请说明理由．
六、本大题共1小题，满分共9分．
26．(本小题满分9分)
阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D(如图)，则sinB=
，sinC=
，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即
．
同理有
，
．
所以
………(*)
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论(*)和有关定理就可以
求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步：由条件a、b、∠A 
∠B；
第二步：由条件 ∠A、∠B． ∠C；
第三步：由条件．
c．
(2)一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28．4海里／
时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°的方向上(如图11)，求此时货轮距灯塔A的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3，sin65°=0．90 6，sin70°=0．940，sin7 5°=0．9 6 6)．
七、本大题共1小题，满分共10分．
27．(本小题满分1O分)
如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O的两根，且x1<0<x2．
(1)求m的取值范围；
(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；
(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式：
八、本大题共1小题，满分共12分．
28．(本小题满分12分)
如图(1)，AB是⊙O的直径，射线AT⊥AB，点P是射线A T上的一个动点(P与A不重合)，PC与⊙O相切于C，过C作CE⊥AB于E，连结BC并延长BC交AT于点D，连结PB交CE于F．
(1)请你写出PA、PD之间的关系式，并说明理由；
(2)请你找出图中有哪些三角形的面积被PB分成两等分，并加以证明；
(3)设过A、C、D三点的圆的半径是R，当CF=
R时，求∠APC的度数，并在图(2)中作出点P(要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)．
玉林市2005年中考数学试题答案
数学试卷参考答案及评分标准
一、填空题(每小题2分，共20分)
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | lO |
| 答案 | -4 | A | x≤3 | 外切 | 70° | y2-y-2=O | x=2,y=3或x=3,y=2 | 12.6 | 602 | 1O |
二、选择题(每小题3分，共24分)
| 题号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| 答案 | D | A | B | C | D | B | C | A |
三、19．5
20．比较可知，A与B只是分式本身的符号不同，(4分)
所以A、B互为相反数．(5分)
2l.甲：8 5，5 3．2．
乙：8 5，7 0．4．
从上述数据可以看出，乙同学的数学成绩不够稳定，波动较大，希望乙同学在学习上补缺补漏，加强能力训练．
22．证：因为DE∥BC，所以DB/AB=EC/AC(1分)
又AB=AC，所以DB=EC(3分)
因为DE∥BC，所以∠DEB=∠EBC(4分)
而∠DBE=∠EBC，所以∠DEB=∠DBE． (5分)
所以DB=DE．(6分)
所以DE=EC (7分)
23．GF=10(cm)．(7分)
24．解：把x=1，y=m,代入y=6/x，得m=6．(1分)
把x=1，y=6代入y=x2+bx+c，得 b+c=5．①(2分)
令x=O，得y=c，所以点C的坐标是(0，c)． (3分)
又OA=OC，所以点A的坐标为(-c，O)．(4分)
所以(-c)2+b(-c)+c=O，又c>0，得c-b=-1．②(5分)
解①、②所组成的方程组，得b=3c=2
所以y=x2+3x+2．(8分)
25．解：(1)设规定时间为x天，则
解之，得x1=28，x2=2．(3分)
经检验可知，x1=28，x2=2都是原方程的根，
但x2=2不合题意，舍去，取x=28．
由24<28知，甲、乙两组合做可在规定时间内完成．(4分)
(2)设甲、乙两组合做完成这项工程的5/6用去y天，
则
解之，得y=20(天)．(5分)
甲独做剩下工程所需时间：10(天)．
因为20+l0=30>28，
所以甲独做剩下工程不能在规定时间内完成；(6分)
乙独做剩下工程所需时间：20/3(天)．
因为20+20/3=26 
<28，
所以乙独做剩下工程能在规定时间内完成． (7分)
所以我认为抽调甲组最好． (8分)
26．解：(1) , ∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C或b、∠B、∠C，
或
(2)依题意，可求得∠ABC=65°，
∠A=40°. (5分)
BC=14．2．(6分)
AB≈21．3．
答：货轮距灯塔A的距离约为21．3海里．(9分)
27．解：(1)由题意，得
22-4(m-3)=16-m>0①
x1x2=m-3<O． ②
①得m<4．
解②得m<3．
所以m的取值范围是m<3． (3分)
(2)由题意可求得∠OCB=∠CAB=30°.
所以BC=2BO，AB=2BC=4BO．
所以A0=3BO(4分)
从而得 x1=-3x2． ③
又因为 x1+x2=-2． ④
联合③、④解得x1=-3，x2=1．(5分)
代入x1·x2=m-3，得m=O．(6分)
(3)过D作DF⊥轴于F．
从(2)可得到A、B两点坐标为A(-3，O)、B(1，O)．
所以BC=2，AB=4，OC=
因为△DAB≌△CBA，
所以DF=CO=，AF=B0=1，OF=A0-AF=2．
所以点D的坐标为(-2，)．
直线AD的函数解析式为y=x=3
28．解：(1)连结AC．
因为AT⊥AB，AB是⊙O的直径，
所以A T是⊙O的切线．
又PC是⊙O的切线，
所以PA=PC．
所以∠PAC=∠PCA．
因为AB是⊙O的直径，
所以∠ACB=90°.
所以∠PAC+∠ADC=90°，∠PCA+∠PCD=90°.
所以∠ADC=∠PCD．
所以PD=PC=PA．
(2)由(1)知，PD=PA，且同高，可见△ABD被PB分成面积相等的两个三角形．
因为AT⊥AB，CE⊥AB，
所以AT∥CE．
所以CF/PD=BF/BP，EF/PA=BF/BPF．
所以CF/PD=EF/PA．
所以CF=EF． (6分)
可见△CEB也被PB分成面积相等的两个三角形．(7分)
(3)由(1)知，PA=PCPD，
所以PA是△ACD的外接圆的半径，即PA=R．
由(2)知，CF=EF，而CF=1/4 R，
所以EF=1/4 PA．
所以EF/PA=1/4．
因为EF∥AT，所以BE/AB=EF/PA=1/4
所以CE== BE
在Rt△ACE中，
因为tan∠CAE=/3．
所以∠CAE=30°.
所以∠PAC=90°-∠CAE=60°.
而PA=PC，所以△PAC是等边三角形．
所以∠APC=60°
P点的作图方法见图．