2005年南通市中等学校招生考试
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共130分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共28分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试号、科目名称用2B铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不能答在试卷上．
一、选择题（本题共12小题；第1～8题每小题2分，第9～12题每小题3分，共28分）
下列各题都有代号为A、B、C、D的四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的．
1． －2 等于
A．－2
B．2
C．－
D．
2． 已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB
的同位角是
A．∠AMF B．∠BMF
C．∠ENC D．∠END
3． 把多项式
分解因式，结果是
A．
B．
C．
D．
4． 用换元法解方程
，若设
，则原方程化为关于y的整式方程是
A．
B．
C．
D．
5． 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形为
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6． 某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表：
| 捐款（元） | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 人数 | 6 |
|
| 7 |
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．
若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组
A．
B．
|
|
C．
D．
|
|
7． 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
|
|
|
C．3 cm D．2 cm
8． 已知x＜2，则化简
的结果是
A．x－2 B．x＋2 C．－x－2 D．2－x
9． 某“中学生暑期环保小组”的同学，随机调查了“幸福小区”10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，8，10，5，9．
利用上述数据估计该小区2000户家庭一周内需要环保方便袋约
A．2000只 B．14000只
C．21000只 D．98000只
10．若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是
A．2π cm2 B．2 cm2
C．4π cm2 D．4 cm2
11．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，
且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为
A．4 B．5
C．8 D．10
12．二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，若M＝4a＋2b＋c，
N＝a－b＋c，P＝4a＋b，则
A．M＞0，N＞0，P＞0
B．M＞0，N＜0，P＞0
C．M＜0，N＞0，P＞0
D．M＜0，N＞0，P＜0
 |
第Ⅱ卷（共102分）
注意事项：
用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中（除题目有特殊需要外）.
| 题号 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | Ⅱ卷总分 | 结分人 | 核分人 |
| 得分 |
| 得分 | 评卷人 |
二、填空题（本题共6小题；每小题3分，共18分）
请把最后结果填在题中横线上．
13．将0.000702用科学记数法表示，结果为 ．
14．已知∠α与∠β互余，且∠α＝35°18′，则∠β＝ ° ′ ．
15．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在
上，则∠BEC＝ °．
16．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝2∠BOC．若
AC＝18cm，则AD＝ cm．
17．某市政府切实为残疾人办实事，在市区道路改造中为盲人修建一条长3000m的盲道，根据规划设计和要求，该市工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原计划增加50%，结果提前2天完成，则实际每天修建盲道 m．
18．如图，△P1O A1、△P2 A1 A2是等腰直角三角形，点P1、
P2在函数
（x＞０）的图象上，斜边OA1、A1A2都
在x轴上，则点A2的坐标是 ．
| 得分 | 评卷人 |
三、解答题（本题共2小题；共16分）
19．（本小题10分）
（1）计算
－9÷3＋(－)×12＋32； （2）计算 
÷
＋
．
20．（本小题6分）
先化简，再求值：
÷(1＋
)，其中
．
| 得分 | 评卷人 |
四、解答题（本题共2小题；共11分）
21．（本小题5分）
已知：∠AOB，点M、N．
求作：点P，使点P在∠AOB的平分线上，且PM＝PN．
（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
22．（本小题6分）
如图，为了测量一条河的宽度，一测量员在河岸边的C处测得对岸一棵树A在正南方向，测量员向正东方向走180米到点B处，测得这棵树在南偏西60°的方向，求河的宽度（结果保留根号）．
 |
| 得分 | 评卷人 |
五、解答题（本题共2小题；共16分）
23．（本小题8分）
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（－1，0），（0，－3），（2，－3）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
24．（本小题8分）
据2005年5月8日《南通日报》报道：今年“五一”黄金周期间，我市实现旅游收入再创历史新高，旅游消费呈现多样化，各项消费所占的比例如图所示，其中住宿消费为3438.24万元．
（1）求我市今年“五一”黄金周期间旅游消费共多少亿元？旅游消费中各项消费的中位数是多少万元？
|
 |
|
| 得分 | 评卷人 |
六、解答题（本题共2小题；共19分）
25．（本小题9分）
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF＝4cm．
（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；
（2）求AE的长．
26．（本小题10分）
如图，已知：AO为⊙O1的直径，⊙O1与⊙O的一个交点为E，直线AO交⊙O于B、C两点，过⊙O上一点G作⊙O的切线GF，交直线AO于点D，与AE的延长线垂直相交于点F．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，AE＝6，求△ODG的周长．
| 得分 | 评卷人 |
七、解答题（本题共2小题；共22分）
27．（本小题10分）
已知关于x的方程
有两个不相等的实数根x1、x2，且
(2x1＋x2)2－8(2x1＋x2)＋15＝0．
（1）求证：n＜0；
（2）试用k的代数式表示x1；
（3）当n＝－3时，求k的值．
| |
在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋m（－ ≤k≤ ）经过点A（2，4），且与y轴相交于点C．点B在y轴上，O为坐标原点，且OB＝OA＋7－2 ．记△ABC的面积为S．
（1）求m的取值范围；
（2）求S关于m的函数关系式；
（3）设点B在y轴的正半轴上，当S取得最大值时，将△ABC沿AC折叠得到△AB′C，求点
B′的坐标．
2005年南通市中等学校招生考试
数学试题参考答案与评分标准
一、选择题（本题共12小题，第1～8题每小题2分，第9～12题每小题3分，共28分）
1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．A
7．C 8．D 9．B 10．A 11．B 12．C
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．7.02×10－4 14．54°42′ 15．45°
16．9 17．750 18．（4
，0）
三、解答题
19．解：（1）原式=－3＋6－8＋9 ……………………………………………………………4分
=4． …………………………………………………………………………5分
（2）原式= 3ab2＋b·（－3ab－4a2b） ………………………………………………7分
= 3ab2－3ab2－4a2b2 ………………………………………………………9分
= －4a2b2． ……………………………………………………………………10分
20．解：原式=
……………………………………………2分
=
=
． …………………………………………………………5分
当a=
，b=
时，原式==
=1． …………6分
21．画出∠AOB的平分线（2分），画出线段MN的垂直平分线（2分），
画出所求作的点P（1分），共5分．
22．解：由题意，得∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=180米． …………………………………1分
在Rt△ABC中，
∠ABC=
，∴30°=
．
……………………………3分
∴AC=180·tan30°=180×=60（米）． ………………………………………………5分
答：河宽为60米． ……………………………………………………………………6分
23．解：（1）由题意，得
解得
…………………………………4分
∴ 这条抛物线的解析式为y=x2－2x－3． …………………………………………5分
（2）抛物线的开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，－4）． ……………8分
24．解：（1）由图知，住宿消费为3438.24万元，占旅游消费的22.62%，
∴ 旅游消费共3438.24÷22.62%=15200（万元）=1.52（亿元）． ……………2分
交通消费占旅游消费的17.56%，∴交通消费为15200×17.56%=2669.12（万元）．
∴今年我市“五一”黄金周旅游消费中各项消费的中位数是
(3438.24＋2669.12)÷2=3053.68（万元）． ……………………………………4分
（2）解：设2005年到2007年旅游消费的年平均增长率是x，由题意，得
1.52(1＋x)2=3.42． ……………………………………………………6分
解得 x1=0.5，x2=－2.5.
因为增长率不能为负，故x=－2.5舍去．∴x=0.5=50%．
答：2005年到2007年旅游消费的年平均增长率是50%． …………………………8分
25．（1）证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G．
在直角梯形ABCD中，∠DCB=∠CBA=90°．
∵ ∠DGB=90°，∴四边形DGBC是矩形．
∴ DC=BG． …………………………………………………2分
∵ AB=2CD，∴AG=GB．∴ DA=DB，∴ ∠DAB=∠DBA．
又∵ EF∥AB，AE与BF相交于D点，
∴ 四边形ABFE是等腰梯形． …………………………4分
（2）解：∵ CD∥AB，∴ 
．
∵ AB=2CD，∴ AF=2CF．
∵ CF=4，∴AF=8． ……………………………………………………………………6分
∵ ∠CBA=90°，AC⊥BF，∴ Rt△BCF∽Rt△ABF．
∴ 
，∴ BF2=CF·FA=4×8=32．∴BF=4． …………………………8分
∵四边形ABFE是等腰梯形，∴ AE= BF= 4（cm）． ……………………………9分
26．（1）证明：连结OE．
∵ AO是⊙O1的直径，∴ ∠AEO=90°，∴ AE⊥OE． ………………………2分
又OE是⊙O的半径，∴ AE是⊙O的切线，且切点为E． …………………4分
（2）解：由切割线定理，得
AE2=AB·AC，即62=2×AC，
∴ AC=18，⊙O的半径=8，
⊙O1的半径=5． ……………………………………………6分
由（1），知OE⊥AE．
∵ FG是⊙O的切线，故OG⊥FG．
又 ∵ FG⊥AF，∴OG∥AF，∴ ∠A=∠GOD．
∴ Rt△AOE∽Rt△ODG． …………………………………8分
∴ 
，即
．
∴ DG=，OD=．
∴△ODG的周长为OG＋DG＋OD=8＋＋=32． ……………………………10分
（或由Rt△AOE∽Rt△ODG，得
，即
．
∵Rt△AOE的周长为AE+AO+OE=6+10+8=24，∴△ODG的周长为24×
=32．）
27．（1）证明：∵ 关于x的方程
两个不相等的实数根，
∴ △=k2－4(k2＋n)=－3k2－4n＞0，∴n＜－k2.
又－k2≤0，∴n＜0． ……………………………………………………………3分
（2）解：由根与系数的关系，得x1＋x2= k．
解关于2x1＋x2的方程
，
得2x1＋x2=3，或2x1＋x2=5．
当2x1＋x2=3，即x1＋(x1＋x2)=3时，得x1=3－k；
当2x1＋x2=5，即x1＋(x1＋x2)=5时，得x1=5－k． ……………………………6分
（3）解：当n=－3时，方程
，即为
．
∵x1是的一个实数根，所以
①当x1=3－k时，有
，
∴ 
，解得k1=1，k2=2．
∵k=2时，原方程变为x2－2x＋1=0，这个方程有两个相等的实数根，
故k=2不合题意，舍去．
当k=1时，原方程变为x2－x－2=0，它的两个根为－1和2．
∴k=1． ……………………………………………………………………………8分
②当x1=5－k时，有
，
∴
，这个方程的判别式△=－39＜0，∴k不存在．
综上所述，所求的k的值为1． ………………………………………………10分
28．解：（1） ∵直线y=
kx＋m（
≤k≤
）经过点A（2
，4），
∴×2k＋m=4，∴k =1－
m． …………………………………………2 分
∵－≤k≤，∴－≤1－m≤．解得2≤m≤6． ………………………4分
（2） ∵ A点的坐标是（2，4），∴OA=2．
又∵OB=OA＋7－2，∴OB=7．∴B点的坐标为（0，7），或（0，－7）．
直线y=kx＋m与y轴的交点为C（0，m）． ………………………………7分
①当点B的坐标是（0，7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7－m．
∴S=·2·BC=（7－m）．
②当点B的坐标是（0，－7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7＋m．
∴S=·2·BC=
（7＋m）． ……………………………………………9分
（3）当
m=2时，一次函数S=－m＋7取得最大值5，这时C（0，2）．
如图，分别过点A、B′作y轴的垂线AD、B′E，垂足为D、E．
则AD=2，CD=4－2=2．
在Rt△ACD中，tan∠ACD=
=，∴∠ACD=60°．
由题意，得∠AC B′=∠ACD=60°，C B′=BC=7－2=5，
∴∠B′CE=180°－∠B′CB= 60°．
在Rt△B′CE中，∠B′CE=60°，C B′=5，
∴CE=
，B′E=
．故OE=CE－OC=．
∴点B′的坐标为（，－）． ……………………12分