中考数学专题复习4：说理型试题
因为说理型试题考查的知识点较多，它不仅考查学生的基础知识，而且考查学生的创新能力，数形结合能力，分类讨论能力，探索问题能力，所以成为近几年中考试题的命题热点。
例1、（2005年台州）如图，在平面直角坐标系内，⊙C与y轴相切于D点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限。
（1）求点C的坐标；
（2）连结BC并延长交⊙C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得
，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由；
（3）在直线BE上是否存在点Q，使得
？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，也请说明理由。
解：
说明：考查了相似形的判定及性质应用，切割线定理、勾股定理、三角函数等有关知识，本题关键是还体现了分类思想.
练习一
1、（2005年贵阳市）在Rt⊿ABC中，∠C =
，AC = 6，BC =
8，点O在CB上，且AO平分∠BAC，CO = 3（如图所示），以点O为圆心，
为半径画圆；
（1）取何值时，⊙O与AB相切；
（2）取何值时，⊙O与AB有两个公共点？
（3）当⊙O与AB相切时，设切点为D，在BC上是否存在点P，使⊿APD的面积为⊿ABC的面积的一半？若存在，求出CP的长，若不存在，请说明理由；
2、（2005年武汉）如图，在平面直角坐标系中，点
的坐标为（－4，0），以点为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、B两点，过点A作直线l与x轴负方向相交成60°角。以点
（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D.
（1）求直线l的解析式；
（2）将⊙以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，当⊙第一次与⊙相切时，直线l也恰好与⊙第一次相切，求直线l平移的速度；
（3）将⊙沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为⊙的直径，过点A作⊙的切线，切⊙于另一点F，连结A、FG，那么FG·A的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。
3、（2005年辽宁）如图，⊙C经过坐标原点O，分别交x轴正半轴、y轴正半轴于点B、A，点B的坐标为(4
，0)，点M在⊙C上，并且∠BMO=120º。
(1)求直线AB的解析式；
(2)若点P是⊙C上的点，过点P作⊙C的切线PN，若∠NPB=30º，求点P的坐标；
(3)若点D是⊙C上任意一点，以B为圆心，BD为半径作⊙B，并且BD的长为正整数。
①问这样的圆有几个?它们与⊙C有怎样的位置关系?
②在这些圆中，是否存在与⊙C所交的弧(指⊙B上的一条弧)为90º的弧，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由。
4、（2005年浙江）如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动(不与B，C重合)，连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．
(1) 当t＝
时，求直线DE的函数表达式；
(2) 如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；
(3) 当OD2＋DE 2的算术平方根取最小值时，求点E的坐标．
5、（2005年无锡）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.
①设AB的长为a，PB的长为b（b<a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.
（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.
 |
例2（2005年玉溪）如图21，已知抛物线
的图象与x轴交于A、C两点。
（1）若抛物线
关于x轴对称，求
的解析式；（3分）
（2）若点B是抛物线
上一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点记为D，求证：点D在上；（4分）
（3）探索：当点B分别位于在x轴上、下两部分的图象上时，□ABCD的面积是否存在最大值或最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形并求出它的面积；若不存在，请说明理由。（4分）
解：
（1）设的解析式为y＝
.
∵与x轴的交点A（－2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，－4），
并且与关于x轴对称，
∴经过点A（－2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4）
∴y＝
.
∴0＝4a＋4
得a＝－1，
∴的解析式为
.
（2）设B（
） ∵点B在上，∴B（
）
∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称。∴B、D关于原点O对称，
∴D（
）.
将D（）的坐标代入：
可知 左边＝右边。∴点D在上。
（3）设□ABCD的面积为S，则S＝2×
.
（I）当点B在x轴上方时，
＞0，
∴
，它是关于的正比例函数且S随的增大而增大，
∴S既无最大值也无最小值。
（II）当点B在x轴下方时，-4≤＜0.
∴
，它是关于的正比例函数且S随的增大而减小，
∴当＝－4时，S有最大值16，但它没有最小值。
此时B（0，－4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上。
∴AC⊥BD.∴□ABCD是菱形。此时
.
说明：考查了轴对称的有关性质，一次函数和二次函数的解析式的求法及它们性质的应用，还考查了平行四边形、菱形的判定及性质应用。
练习二
1．（2005年资阳市）．如图9，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为(2,0).
(1) 求点B的坐标；
(2) 若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；
(3) 在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括点O、B)上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由.
2、（2005年北京市）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数
的图象与x轴交于点A，抛物线
经过O、A两点。
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得
？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
3、（2005年哈尔滨）已知：直线y=2x+6与x轴和y轴分别交于A、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、C，点B是抛物线与x轴的另一个交点。
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；
(2)设点P是直线AC上一点，且S△ABP∶S△BPC=1∶3，求点P的坐标；
(3)直线y=
x+a与(1)中所求的抛物线交于M、N两点，问：是否存在a的值，使得∠MON=90º，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。
4、(2005年金华)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点O（0，0），A（4，0），B（5，5）.点C是y轴负半轴上一点，直线l经过B，C两点，且tan∠OCB＝.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线l的解析式；
 |
（3）过O，B两点作直线，如果P是直线OB上的一个动点，过点P作直线PQ平行于y轴，交抛物线于点Q. 问：是否存在点P，使得以P，Q，B 为顶点的三角形与△OBC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
5、（2005年临沂）如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（2，0），且其面积为8。
⑴求此抛物线的解析式；
⑵如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R。
①求证：PB=PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点A、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由。
能力训练
1．（2005年陕西）如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°得到△COD.
（1） 求C、D两点的坐标；
（2） 求经过C、D、B三点的抛物线的解析式；
（3） 
设（2）中的抛物线的顶点为P，AB的中点为M，试判断△PMB是钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形，并说明理由。
2．（2005年深圳）已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）
（1）求点A、E的坐标；
（2）若y=
过点A、E，求抛物线的解析式。
（3）连结PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。
3．（2005年四川）已知关于x、y的方程组
有两个不相同的实数解。
(1)求实数k的取值范围；
(2)若
和
是方程组的两个不相同的实数解，是否存在实数k，使得yly2―
―
的值等于2；若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
4．（2005年宜昌）以原点O为圆心、5为半径的半圆与y轴交于A、G两点，AB与半圆相切于点A，点B的坐标为（3，yB）（如图1）；过半圆上的点C(xC，yC)作y轴的垂线，垂足为D；Rt△DOC的面积等于
．
（1）求点C的坐标；
（2）①命题“如图2，以y轴为对称轴的等腰梯形MNPQ与M1N1P1Q1的上底和下底都分别在同一条直线上，NP∥MQ，PQ∥P1Q1 ，且NP＞MQ．设抛物线y=a0x2＋h0过点P、Q，抛物线y=a1x2＋h1过点P1、Q1，则h0＞h1”是真命题．请你以Q（3，5）、P（4，3）和Q1（p，5）、P1(p+1，3)为例进行验证；
②当图1中的线段BC在第一象限时，作线段BC关于y轴对称的线段FE，连接BF、CE，点T是线段BF上的动点（如图3）；设K是过T、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点，求K的纵坐标yK的取值范围．
5、（2005年淮安）知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点M是线段AB(中点除外)上的动点，以点M为圆心，OM的长为半径作圆，与x轴、y轴分别相交于点C、D．
（1）设点M的横坐标为a，则点C的坐标为 ，点D的坐标为 （用含有a的代数式表示）；
（2）求证：AC=BD；
（3）若过点D作直线AB的垂线，垂足为E．
①求证： AB=2ME；
②是否存在点M，使得AM=BE？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6、（2005年茂名）知二次函数
的图像与x轴交于点A、点B（点B在X轴的正半轴上），与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数关系式为
，又tan∠OBC=1，
（1） 求a、k的值；
（2）
探究：在该二次函数的图像上是否存在点P（点P与点B、C补重合），使得ΔPBC是以BC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请你说明理由
7、（2005年黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，AB=25，顶点C在y轴的负半轴上，tan∠ACO=，点P在线段OC上，且PO、PC的长(PO<PC)是关于x的方程x2-(2k+4)x+8k=O的两根．
(1)求AC、BC的长；
(2)求P点坐标；
(3)在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形?若存在，请直接写出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由．
8、（2005年恩施）年如图,在平面直角坐标系中,半径分别为3
和的⊙O1和⊙O2外切于原点O,在x轴上方的两圆的外公切线AB与⊙O1和⊙O2分别切于点A、B,直线AB交y轴于点C.O2D⊥O1A于点D.
(1)求∠O1O2D的度数;
(2)求点C的坐标;
(3)求经过O1、C、O2三点的抛物线的解析式;
(4)在抛物线上是否存在点P,使⊿PO1O2为直角三角形.若存在,求出点P的坐标； 若不存在,请说明理由.
9、（2005年重庆）（10分）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设
＝PM·PE，
＝PN·PF，解答下列问题：
（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断与的大小关系，并说明理由；
（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，设
，是否存在这样的实数
，使得
？若存在，请求出满足条件的所有的值；若不存在，请说明理由.
能力训练答案：
1、（1）由旋转的性质可知：OC＝OA＝2，OD＝OB＝4
∴C、D两点的坐标分别为C（－2，0）、D（0，4）
（2）所求抛物线的解析式为
。
（3）答：△PMB是钝角三角形。
如图，PH是抛物线的对称轴，
求得M、P两点的坐标分别为M（2，1），P（1，
）.
∴点M在PH右侧，
又∵∠PHB＝90° ∴∠1＞90°
∵∠PMB＞∠1 ∴△PMB是钝角三角形。
2. （1）A（1，2
）E（0，）
（2）y=
（3）（
，
），2
+2，
3、
4、解：（1）yB=5=半径; 
xCyC=, +y2C=25, 得C (4,3) …2分和C(4,－3)
（2）①过点P（4，3）、Q（3，5）的抛物线y=a0x2＋h0
即为y=－
x2+
,得h0＝.
过P1(p+1，3)、Q1（p，5）的抛物线y=a1x2＋h1
即为y=
,
h1=
.h0—h1＝－ ＝
＝
，
（∵MQ＞M1Q1，其中MQ＝6，∴0≤p＝1／2M1Q1＜3，）可知0≤p＜3；
∴7p+3＞0，2p+1＞0，3-p＞0，因而得到h0—h1＞0，证得h0＞h1.
（或者说明2p+1＞0，
在0≤p＜3时总是大于0，得到h0—h1＞0.
②显然抛物线y=ax2+bx+c的开口方向向下，a＜0.
当T运动到B点时，这时B、T、K三点重合即B为抛物线的顶点，∴yK≥5；
将过点T、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c沿x轴平移，使其对称轴为y轴，这时yK不变.
则由上述①的结论，当T在FB上运动时，过F（－3，5）、B（3，5）、C（4，3）三点的抛物线的顶点为最高点，
∴yK≤， ∴ 5≤yK≤
5、⑴C（2a，0），D（0，2a+8）
⑵方法一：由题意得：A（－4，0），B（0，4）
－4＜a＜0，且a≠2，
① 当2a+8＜4，即－4＜a＜－2时AC=－4－2a，BD=4－（2a+8）=－4－2a
∴AC=BD。当2a+8＞4，即－2＜a＜0时，同理可证：AC=BD
综上：AC=BD
方法二：①当点D在B、O之间时，连CD，∵∠COD＝90°
∴圆心M在CD上，过点D作DF∥AB，∵点M为CD中点，
∴MA为△CDF中位线，∴AC＝AF，
又DF∥AB，∴
，而BO＝AO ∴AF=BD ∴AC＝BD
②点D在点B上方时，同理可证：AC=BD，综上：AC=BD
⑶方法一
①A(－4,0)，B(0，4)，D(0，2a+8)，M(a，a+4)，△BDE、△ABO均为等腰直角三角形，
E的纵坐标为a+6，∴ME=
(yE－yM)=[a+6-(a+4)]=2，AB=4∴AB=2ME
② AM=( yM－yA)＝(a+4)，BE=yE－yB=a+2，
∵AM=BE又－4＜a＜0，
且a≠2，10 当－4＜a＜－2时，(a+4)= －(a+2) ∴a=－3，M（－3，1）
20 当－2＜a＜0时，(a+4)= (a+2)
∴a不存在
6、（1） a=－1 ，
k=1
（2）在二次函数y=－x2+2x+3的图像上存在点P，
使得ΔPBC是以BC为一条直角边的直角三角形
①由 (1)可知，直线y=x+3与x轴的交点为E（－3，0）
OE=OC=3∠CEO=450 ，
∠OBC=450∠ECB=900∠DCB=900
ΔDCB是以BC为一条直角边的直角三角形，
且点D（1，4）在二次函数的图像上，则点D是所求的P点
方法一：设∠CBP=900,点P在二次函数y=－x2+2x+3的图像上，
则ΔPBC是以BC为一条直角边的直角三角形，
∠CBO=450 ∠OBP=450
设直线BP与y轴交于点F，则F(0,－3)直线BP的表达式为y=x－3
解方程组
得
或
由题意得，点P(－2,－5)为所求。
综合①②，得二次函数y－x2+2x+3的图像上存在点P(1,4)或
P(－2,－5),使得ΔPBC是以BC为一条直角边的直角三角
方法二：在y轴上取一点F(0，－3)，则OF=OC=3,由对称性可知，∠OBF=∠OBC=450
∠CBF=900
设直线BF与二次函数y=－x2+2x+3的图像交于点P，由（1）知B（3，0），
直线BF的函数关系式为y=x－3（以下与方法一同）
7、 (1) AC=15 BC=20
(2)∵ S△ABC=AC·BC=OC·AB， ∴ OC=12
∴ PO+PC=4+2k=12． ∴ k=4
∴ 方程可化为x2-12x+32=O．解得x1=4，x2=8
∵ PO<PC． ∴ PO=4． ∴ P(O，-4)
(3)存在，直线PQ解析式为：y=-x-4或y=- x -4
8、(1) 连接O2B
易证四边形ADO2B 为矩形,在Rt⊿O2DO1 中,
O1D=2,O1O2=4,则 ∠O1O2D=300 ,O2D=6
(2)由(1)得AB= O2D=6,∴点C的坐标为(0,3)
(3)由图知:O1、O2 点的坐标为(-3,0)、(,0)
设过点O1、O2 、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
则有:
解之得:a=
b= 
c=3
故抛物线的解析式为:y=x2+x+3
(4)
存在，点C显然满足条件，又根据抛物线的对称性知,点C关于x=
的对称点也满足条件，即P点的坐标为(0,3)、(
,3)
9、解：（1）∵ABCD是矩形，MN∥AD，EF∥CD∴四边形PEAM、PNCF也均为矩形
∴＝PM·PE＝
，＝PN·PF＝
又∵BD是对角线， ∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC
∵
，
∴＝ ∴
（2）成立，理由如下：
∵ABCD是平行四边形，MN∥AD，EF∥CD
∴四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形
仿（1）可证
过E作EH⊥MN于点H，则
∴
同理可得
又∵∠MPE＝∠FPN＝∠A
∴
∴PM·PE＝PN·PF，即
（3）方法1：存在，理由如下：
由（2）可知
，
又∵，即
，
，
而
，
∴
，即
∴
，
故存在实数
或
，使得.