《相似图形》中考热点透视
一、探索条件型
例1（2004陕西）如图1，矩形ABCD，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a,b间的关系一定满足（ D ）
图1
A． a≥
b； B．a≥b； C. a≥
b； D．a≥2b.
分析：由于矩形是轴对称图形，根据其对称性可知，通常情况下点P的位置有两个，它们关于BC的垂直平分线对称；如果存在一点P，则该点必为BC的中点，此时△ABP≌△DCP，则AP=DP，△APD为等腰直角三角形。要使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则它们都是等腰直角三角形。
此时，
，即a=2b。
当点P的位置有两个时，a>2b。
总之，a≥2b。故选D.
例2（2004浙江宁波）如图2，已知点
是边长为4的正方形
内一点，且
，
，垂足是
．请在射线
上找一点
，使以点、、
为顶点的三角形与
相似（请注意：全等图形是相似图形的特例）
．
图2
分析：由于对应点没有确定，所以需分类讨论。
（1）若△MBC∽，则需在射线上截取线段
，连结
，
，
，
∴
～．
（2）若△CBM∽，则需在射线上截取线段
，连结
，
．(全等必相似)
∴在射线上取或
时，
，
都为符合条件的．
二、探索结论型
例3（2004江苏淮安）已知：如图3，在□ABCD中，点E为边CD上的一点，AE的延长线交BC的延长线于点F，请你写出图中的一对相似三角形：△______∽△_________．(只使用图中已有字母，不再添加辅助线)
图3
分析：本题有多种答案。注意到AD//CF，则△EDA∽△ECF；注意到CE//BA，则△ABF∽△ECF；利用相似形之间的“传递性”，有△ABF∽△EDA。
例4（2004四川资阳）如图4①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .
(1) 如图4②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图4③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；
(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .
图4
分析：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2 .
(1) S1=S2+S3 .
(2) S1=S2+S3 . 证明如下：
∵ 所作三个正方形相似，∴ 
.
(3) 当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3 . 证明如下：
∵ 所作三个三角形相似， ∴
.
(4)由于半圆、正方形、等边三角形都是相似图形，所以类比(1)、(2)、(3)的结论，可得：
分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1＝S2＋S3 .
三、猜想规律型
例5（江苏连云港）如图5，在梯形ABCD中，AB∥CD，
，
，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
①当
时，有
；
②当
时，有
；
③当
时，有
．
当
时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明。
图5
分析：类比条件中的等式，可以猜想得：EF =
．
证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H．
∵AB∥CD，∴
∽
，∴
，
又
∥
∥
，∴
，
∴
，
，
∴
，可得
．
四、阅读理解型
例6（2004江苏南京）如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．
(1)选择：如图6-1，点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为（ ）．
A．2、点P B．
、点P C．2、点O D．、点O
图6-１ 图6-２
(2) 如图6-２，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形．阅读后证明相应问题．
画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；
②连结OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，
作E′D′∥ED，交OB于点D′；
③连结C′D′．则△C′D′E′是△AOB的内接三角形．
求证：△C′D′E′是等边三角形．
分析：（1）△P′Q′R′与△PQR的位似比即为其相似比
；对应点所在的直线PP’、’、RR’都经过点O，所以，位似中心为点O。故选D．
（2）∵E′C′∥EC，∴△C’E’O∽△CEO，∴∠C’E’O=∠CEO，
。
∵E′D′∥ED，∴△D’E’O∽△DEO，∴∠D’E’O=∠DEO， 
∴∠C’E’ D’ =∠CED，
，∴△CDE∽△C′D′E′。
由于△CDE为等边三角形，所以△C′D′E′也是等边三角形．
五、实际应用型
例7（2003山东济南）检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米，如图7(1)．现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题，若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图7(2)．由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A、B发出的光线经平面镜MM’的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为O．8米，请计算出镜长至少为多少米?
图7
分析：相似形在实践中，尤其在测量等方面，有着广泛的应用。本题即为一例。
作CD⊥MM’，垂足为D，延长CD交A'B'于点E.
∵AB′∥MM’//A’B’，∴CE⊥A’B’，△CMM’∽△CAB’，
∴
.
∵CD = 5 – 3 =2 , CE = 5 , A’B’= AB = 0.8,
∴
.
∴MM’=0.32（米）.
∴镜长至少为0.32米.