梅州市2005年中考数学模拟试题（二）
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一、填空题（每小题3分，共30分）
1．—（—5）=
；—3=
；
=
。
2．在函数
中，自变量
的取值范围是
。
3．若∠α的余角是30°，则∠α= °，sinα= 。
4．太空探测器“先驱者10号”从发射到2003年2月人们收到它最后一次发回的信号时，它已飞离地球km，用科学记数法表示这个距离为 km。
5．点A（﹣1，2）关于
轴的对称点坐标是
；点A关于原点的对称点的坐标是
。
6．已知一元二次方程
的两个根是
、
，则
= ，
=
，
=
。
7．如图，在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则BC=
cm, ∠ABD=
°。
8．有两块同样大小且含角60°的三角板，把它们相等的边拼在一起（两块三角板不重叠），可以拼出 个四边形。
9．如图，点D是Rt△ABC的斜边AB上的一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是
。
10．如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120°，OC长为8cm，贴纸部分的CA长为15cm，则贴纸部分的面积为 cm2（结果保留π）
二、选择题（每小题3分，共15分）
11．下列命题中错误的命题是 ( )
（A）
的平方根是
（B）平行四边形是中心对称图形
（C）单项式
与
是同类项（D）近似数
有三个有效数字
12．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A B C D
13．如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么它的侧面积等于( )
（A）
（B）
（C）
（D）
14．关于的一元二次方程
根的情况是 ( )
（A）有两个不相等实数根 （B）有两个相等实数根
（C）没有实数根 （D）根的情况无法判定
15． 关于函数
，下列结论正确的是
( )
（A）图象必经过点（﹣2，1） （B）图象经过第一、二、三象限
（C）当
时，
（D）随的增大而增大
三、解答题（每小题6分，共24分）
16．
不用计算器计算：
÷（—2）2 —2 -1+
17．已知x=
+1，求代数式
的值
18．解方程：
。
19．已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标。
四、（20、21小题各7分，22、23小题各8分，共30分）
20．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，求AB的长。
21．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。甲船以每小时
千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇。
（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？
（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？
22．如图，⊙O2与⊙O1 的弦BC切于C点，两圆的另一个交点为D，动点A在⊙O1，直线AD与⊙O2交于点E，与直线BC交于点 F 。
（1）如图1，当A在弧CD上时，求证：
①⊿FDC∽⊿FCE；
② AB∥EC ；
（2）如图2，当A在弧BD上时，是否仍有AB∥EC？请证明你的结论。
23．（本题6分）已知关于x的一元二次方程 ax2+x—a=0 ( a≠0 )
（1） 求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根;
（2） 设x1、 x2是该方程的两个根，若∣x1∣+ ∣x2∣=4，求a的值。
五、（24小题10分，25小题11分，共21分）
24．西北某地区为改造沙漠，决定从2002年起进行“治沙种草”，把沙漠地变为草地，并出台了一项激励措施：在“治沙种草”过程中，每一年新增草地面积达到10亩的农户，当年都可得到生活补贴费1500元，且每超出一亩，政府还给予每亩a元的奖励.另外，经治沙种草后的土地从下一年起，平均每亩每年可有b元的种草收入.下表是某农户在头两年通过“治沙种草”每年获得的总收入情况：
| 年 份 | 新增草地的亩数 | 年总收入 |
| 2002年 | 20亩 | 2600元 |
| 2003年 | 26亩 | 5060元 |
(注：年总收入＝生活补贴费＋政府奖励费＋种草收入)
⑴试根据以上提供的资料确定a，b的值；
⑵从2003年起，如果该农户每年新增草地的亩数均能比前一年按相同的增长率增长，那么2005年该农户通过“治沙种草”获得的年总收入将达到多少元？
25．已知：如图，在平面直角坐标系中，点C在轴上，以C为圆心，4cm为半径的圆与轴相交于点A、B，与轴相交于D、E，且︵AB=︵BD 。点P是⊙C上一动点（P点与A、B点不重合）。连结BP、AP。
（1）求∠BPA的度数；
（2）若过点P的⊙C的切线交轴于点G，是否存在点P，使△APB与以A、G、P为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
梅州市2005年中考数学模拟试题（二）参考答案
1．5，3，1．
2．x≠-2． 3．60° /2． 4．1．22×1 010． 5．(1，2)，(1，-2)．
6、2，-1，6． 7．8，4 5°. 8．4． 9．1 50． 10. 155π 1 1．C． 1 2．D． 13．D． 1 4．A． 15．C．
16． 17。原式=x/(x-1) 将x=+1代入原式(3+)/3 18。x1= —1, x2=
19．(1)设这个二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，图象经过点(0，0)，(1，-3)，(2，-8)，∴ 解得a=-1，b=-2，c=O，
∴这个二次函数的解析式为：y=-x2-2x；
(2)它的对称轴为x=-1，顶点坐标为(-1，1)．
20．AB=AC，．AB2=AD·AE ．AB=2
21．(1)过点A作AD⊥BC于D．由题意，得∠C=4 5°，∠B=30°(或∠BAC=105°)，在Rt△ADC中，∴∠C=4 5°，AC==30
，CD=AD=3O，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AD=30，∴AB=60，
BD=AB
cos30°=30．甲船从C处追赶上乙船所用的时间：60÷1
5-2=2(小时)； (2)在△ABC中，∵BC=CD+BD=30+30，∴(3 0+30)÷(4-2)=15(1+)(千米／时) 答：(1)甲船从C处追上乙船用了2小时． (2)甲船追赶乙船的速度是每小时1
5(1+)千米．
22．（１）证明：①∵ＢＣ为⊙Ｏ2的切线 ∴∠D=∠FCE
又∠Ｆ＝∠Ｆ∴⊿ＦＤＣ∽⊿ＦＣＥ。
②在⊙Ｏ1中，∠B＝∠D,
又∠ＦＣＥ＝∠Ｂ。∴AB∥EC
（２）仍有AB∥EC。∵ＡＢＣＤ是⊙Ｏ1的内接四边形，∴∠ＦＢＡ＝∠ＦＤＣ
∵ＢＣ为⊙Ｏ2的切线，∴∠ＦＣＥ＝∠ＦＤＣ∴∠ＦＣＥ＝∠ＦＢＡ，∠∴AB∥EC。
23。（１）证明：∵⊿＝１＋4a2, ∴⊿＞0 ∴方程恒有两个实数根
设方程的两根为x1,x2, ∵a≠0, ∴x1·x2= —１＜０∴方程恒有两个异号的实数根 （２）∵x1·x2＜０， ∴∣x1∣＋∣x2∣＝∣x1 — x2∣＝４
∴∣x1 — x2∣＝（x1＋x2）2 — ４x1 x2＝１６
又∵x1＋x2＝ —
， ∴
＋４＝１６。∴a=±
２4。(1)1500+(20-10)a=2600，
1500+(26-10)a+20b=5 060．
解之得：a=110 b=90
答：a的值是110，b的值是90．
(2)2003年的增长率为30％．
2004年新增草地亩数为 26×(1+30％)=33．8(亩)．
2005年新增草地亩数为 26×(1+30％)x=43．94(亩)．
2005的总收入为1500+(43．94-10)×110+(20+26+33．8)×90=12 415．4(元)．
答：2005年该农户通过“治沙种草"获得的年总收入达到12 415．4元．
25．(1)∠BPA=60°或∠BPA=120°；
(2)设存在点P，使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似．
i．当P在弧EAD上时，(图1)．GP切0 C于点P，∴∠GPA=∠PBA 又∵∠GAP是△ABP的外角，∴∠GAP>∠BPA，∠GA P>∠PBA．欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠GAP=∠PAB=9O°．．BP为⊙C的直径．在
Rt△PAB中，∠BPA=60°，PB=8，．．·PA=4，AB=4 OA=2 ∴P(2，4)．
ii．当P在弧EBD上时，(图2)在△PAB和△GAP中，∵∠PBA是△GBP的外角，
∴∠PBA>∠PGB．又∵∠PAB=∠GAP，欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠APB=∠PGB∴GP切⊙C于点P，∴∠GPB=∠PAG 由三角形内角和定理知：∠ABP=∠GBP ∴∠ABP=∠GBP=90°
在Rt△PAB，∠BPA=60°，PA=8，∴PB=4，AB=4∴OB=2 ∴P(-2，4)．∴存在点P1(2，4)、P2(-2，4)使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似．
