2005年全国各地中考分类解析——解直角三角形
一、选择题:
1．（泰山）一人乘雪橇沿坡比1∶
的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（米）与时间t（秒）
间的关系为s =10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为
A．72
m B．36 m C．36
m D．18 m
2、（大连）张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为（ ）
A. 3.2米 B.4.8米 C.5.2米 D.5.6米
3．(湖北黄石)小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( )
A．9米 B．28米 C．
米 D.
米
|
4河南）如图，
等于
( )
|
B．2
|
|
|
D．
5．（兰州）如果ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２３００＝１那么锐角α的度数是（ ）
Ａ．１５０ Ｂ．３００ Ｃ．４５０ Ｄ．６００
6. (厦门) 如图1，在直角△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4，
则sin∠B＝
A. B. C. D.
7．（黑龙江）在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为 ( )
(A)60米 (B)40米 (C)30米 (D)25米
二、填空题：
1、（嘉兴）图7是引拉线固定电线杆的示意图。已知：CD⊥AB，CD
m，∠CAD=∠DBD=60°，则拉线AC的长是___________m.
2、（四川内江）如图河对岸有一古塔AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为α，向塔前进Sｍ到达D，在D处测得A的仰角为β，则塔高为 米。
3．（沈阳）在△
中，
，
，
30º，则
∠BAC
的度数是 .
4. （四川资阳）如图4，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到
△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________.
(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=
，cos15°=
)
5．（惠安）同一时刻，一竿的高为1.5米，影长为1米，某塔影长为20米，则塔的高为 米．
１４．（兰州）锐角Ａ满足２ｓｉｎ(Ａ－１５０)＝
则∠Ａ＝＿＿＿＿
6、（梅州市）求值：sin230°+cos230°= 。
三、解答下列各题
1．（泰山）高为12.6米的教学楼ED前有一棵大树AB（如图1）．
（1）某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2.4米，DF=7.2米，求大树AB的高度．（3分）
（2）用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：
①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n …表示，角度用希腊字母α、β …表示）；（3分）
②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB高度（用字母表示）．（3分）
图1 图2
解：连结AC、EF
（1）∵太阳光线是平行线∴AC∥EF∴∠ACB=∠EFD
∵∠ABC=∠EDF=90°∴△ABC∽△EDF……………………………1分
∴
∴
∴AB=4.2……………………2分
答：大树AB的高是4.2米．………………………………………3分
（2）（方法一）
…………………………6分
如图MG=BN=m
AG=m tanα ∴AB=（m tanα＋h）米 ………………………9分
 |
（方法二）
…………………………6分
∴ AG =
∴AB=＋h …………………9分
或AB=
＋h
（不加测角仪的高扣2分，其他测量方法，只要正确均可得分）
2．（嘉兴）如图，河对岸有一铁塔AB。在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进16米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。
解：在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB。 ……2分
在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=AB。 ……2分
设AB=x（米），∵CD=16，∴BC=x+16.∴x+16=x ……2分
。即铁塔AB的高为
米。
另解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=ABcot30° ……2分
在 Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=ABcot45° ……2分
∵CD=BC-BD=16，∴ ABcot30°- ABcot45°=16 ……2分
∴
即铁塔AB的高为
米 ……2分
3. （锦州）如图，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点，观测到灯塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?
评价要求：此题解法不惟一，只要合理，即可赋分.
解：1小时45分=
小时.
在Rt△ABD中，
(海里)，
∠BAD=90°-65°45′=24°15′. ……2分
∵cos24°15′=
，
∴
(海里). ……4分
AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).
在Rt△ACE中，sin24°15′=
，
∴CE=AC·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里).
∵17.54＜18.6，∴这条船不改变方向会有触礁危险. ……8分
4．（宁德）6月以来，我省普降大雨，时有山体滑坡灾害发生。北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角ÐABC＝65º。为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45º时，可以确保山体不滑坡。
（1）求坡顶与地面的距离AD等于多少米？（精确到0.1米）
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）
解：
5．（沈阳）如图8所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：
方案一：
；
方案二：
.
经测量得
千米，
千米，
千米，∠BDC＝45°，∠ABD＝15°.
已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米.
⑴求出河宽AD（结果保留根号）；
⑵求出公路CD的长；
⑶哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.
6．(玉林)阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D(如图)，则sinB=
，sinC=
，即AD=csinB，AD=bsinC，
于是csinB=bsinC，即
．
同理有
，
．
所以
………(*)
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论(*)和有关定理就可以
求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步：由条件a、b、∠A 
∠B；
第二步：由条件 ∠A、∠B． ∠C；
第三步：由条件．
c．
(2)一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28．4海里／
时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°的方向上(如图11)，求此时货轮距灯塔A的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3，sin65°=0．90 6，sin70°=0．940，sin7 5°=0．9 6 6)．
解：(1) , ∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C或b、∠B、∠C，
或
(2)依题意，可求得∠ABC=65°，
∠A=40°. (5分)
BC=14．2．(6分)
AB≈21．3．
答：货轮距灯塔A的距离约为21．3海里．(9分)
7．(湖北黄石)初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60º方向，C点在B点北偏东45º方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长。
(
，结果精确到0.01米)
8. （江苏宿迁）某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．
（计算结果精确到0.1米，参考数据：
≈1.414， 
≈1.732）
解：（1）在Rt△A BC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°
∵tanC＝
………2分
∴AB＝AC·tanC ………3分
＝9×
………4分
≈5.2（米） ………5分
（2）以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，DE⊥AD交AC于E点，（如图） ………7分
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，
∴AE＝2AD ………9分
＝2×5.2＝10.4（米） ………10分
答：树高AB约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米．……11分
9、（南通）如图,为了测量一条河的宽度,一测量员在河岸边的C处测得对岸一棵树A在正南方向,测量员向正东方向走180米到点B处,测得这棵树在南偏西60°的方向,求河的宽度（结果保留根号）.
略解：河宽为
米.
10、（河南课改）如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少？（结果精确到1米。参考数据：sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8480）
解：过点C做CD⊥AB，垂足为D，
∵B点在A点的正东方向上，∴∠ACD＝45°，∠DCB＝32°，
在Rt△BCD中，BC＝100，
∴
（米）
（米），
在Rt△ACD中，AD＝CD，
∴
（米）。
11．（惠安）如图，在离旗杆40米的A处，用测角仪器测得旗杆顶的仰角为
，已知测角仪器高AD=
米，求旗杆的高度BE(精确到 0.1米，供选用的数据： 
解：
答:旗杆的高度约24.9米.---------(8分)
12. （兰州）如图９某海关缉私艇巡逻到达Ａ处时接到情报，在Ａ处北偏西６００方向的Ｂ处发现一艘可疑船只正以２４海里／时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西４５０的方向快速前进，经过１小时的航行，恰好在Ｃ处截住可疑船只，求该艇的速度（结果保留整数
，
≈２．４４９，
≈１．７３２
≈１．４１４）
解：如图所示，在ＲｔＡＤＣ中，∠ＤＡＣ＝４５０∴设ＡＤ＝ＤＣ＝ｘ（海里）， 则ＡＣ＝ｘ 海里，在ＲｔＡＤＢ中，∠ＡＤＢ＝９００∠ＤＡＢ＝６００
∴∠Ｂ＝３００ ∴ＢＤ＝ＡＤ即２４＋ｘ＝ｘ∴ｘ＝１２＋１
∴ＡＣ＝·１２＋１＝１２＋ ≈４６（海里） ∴Ｖ＝＝４６（海里／时）
答：该艇的速度约为４６海里／时
13．（四川泸洲）随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，今年为了提前做好防洪准备工作，某市正在长江边某处常出现险情的河段修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD，如图7所示，根据图中数据计算坝底CD的宽度（结果保留根号）．
解：在Rt△ADF中，∠D＝60°，
……………………1分
∴DF＝AF·cotD
＝9×cot60°
＝9×
……………………………………………………3分
又在Rt△BEC中
∵∠C＝45°， ∴△BEC为等腰三角形
∴EC＝BE＝9……………………………………………………………6分
在矩形AFEB中，FE＝AB＝10………………………………………7分
∴DC＝DF＋FE＋EC
＝
＝
答：坝底DC的宽为
………………………………………8分
14．（浙江台州） 如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=5m，则 BC的长度是多少？现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果保留三个有效数字）
解：在R t△BCD中，∵ BD=5, ∴ BC=5
=
4.1955≈4.20.
……4分
在R t△BCD中，BE=BC+CE= 6.20, ………………5分
∴ DE=
…………………6分
=
=
≈7.96 ………………………9分
答：BC的长度约为4.20
,钢缆ED的长度约7.96.………10分
（若BC=4.1955暂不扣分，但是ED的长度未保留三个有效数字扣1分）
15．（湖北十堰）（1）在一个宁静的夜晚，月光明媚，张芳和身高为1.65m的李红两位同学在人民广场上玩。张芳测得李红的影长为1m，并立即测得小树影长为1.5m，请你估算小树的高约为多少？
（1）
……………………2分
答：小树高约为2.4m……………………3分
16、(梅列区)某中学政教处在九年级进入学业考试总复习前，将一幅激励同学拼搏的标语悬挂在教学楼前。有位学生在与这幢教学楼相距20米的办公楼P处测得标语顶端A点的仰角为15°，底部B的俯角为10°，请你根据这位同学测定的数据，计算出这幅标语的长度。（精确到0.01米）
