2005年梅州市高中阶段学校招生考试
数学试卷及答案
一、填空题（每小题3分，共30分）
1、计算：（a－b）－（a+b）= 。
2、计算：（a2b）2÷a4 = 。
3、函数
中，自变量
的取值范围是
。
4、北京与巴黎两地的时差是－7小时（带正号的数表示同一时间比北京早的时间数），如果现在北京时间是7∶00，那么巴黎的时间是
。
5、求值：sin230°+cos230°= 。
6、根据图1中的抛物线，当x 时，y随x的增大而增大，
当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，y有最大值。
7、如图2，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则
∠AOB+∠DOC= 。
8、已知一个三角形的三边长分别是6㎝，8㎝，10㎝，则这个
三角形的外接圆面积等于 ㎝2。
9、如图3，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子
的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，
则α= 度。
10、如图4是我市城乡居民储蓄存款余额的统计图，
| 城乡居民储蓄存款余额(亿元) | ||||
| 300 |
|
|
| 239.6 |
| 200 |
|
| 155.14 |
|
| 150 |
|
|
|
|
| 100 |
| 19.46 |
|
|
| 50 | 0.46 |
|
|
|
| 0 | 1978年 | 1990年 | 2000年 | 2003年 |
请你根据该图写出两条正确的信息：
① ；
② 。
二、选择题（每小题3分，共15分）
11、已知⊙O的半径为5㎝，⊙O1的半径为3㎝， 图4
两圆的圆心距为7㎝，则它们的位置关系是………………………………………（ ）
A、相交 B、外切 C、相离 D、内切
12、方程x2－5x－1=0 …………………………………………………………（ ）
A、有两个相等实根 B、有两个不等实根
C、没有实根 D、无法确定
13、一组对边平行，并且对角线互相垂相等的四边形是……………………（ ）
A、菱形或矩形 B、正方形或等腰梯形
C、矩形或等腰梯形 D、菱形或直角梯形
14、设a是实数，则a－a的值………………………………………………（ ）
A、可以是负数 B、不可能是负数
C、必是正数 D、可以是正数也可以是负数
15、由梅州到广州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：梅州——兴宁——华城——河源——惠州——东莞——广州，那么要为这次列车制作的火车票有……（ ）
A、6种 B、12种 C、21种 D、42种
三、解答下列各题（每小题6分，共24分）
16、计算：
17、在“创优”活动中，我市某校开展收集废电池的活动，该校初二（1）班为了估计四月份收集电池的个数，随机抽取了该月某7天收集废旧电池的个数，数据如下：（单位：个）：48，51，53，47，49，50，52。求这七天该班收集废旧电池个数的平均数，并估计四月份（30天计）该班收集废旧电池的个数。
18、解方程：
19、如图5，RtΔABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形的等腰三角形。（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
 |
四、（20、21两题各7分，22、23两题各8分，24小题10分，25小题11分）
20、如图6，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点。
（1）如果 ，则ΔDEC≌ΔBFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；
（2）证明你的结论。
21、为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划。如果实际每天比计划多用2度电，那么本学期的用电量将会超过2530度；如果实际每天比计划节约2度电，那么本学期用电量将会不超过2200度电。若本学期的在校时间按110天计算，那么学校每天用电量应控制在什么范围内？
22、如图7，RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合）设PC=x，点P到AB的距离为y。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围。
23、东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数据如下表：
| 卖出价格x（元/件） | 50 | 51 | 52 | 53 |
|
| 销售量p（件） | 500 | 490 | 480 | 470 | …… |
……（1）以x作为点的横坐标，p作为纵坐标，把表中的
数据，在图8中的直角坐标系中描出相应的点，观察连结
各点所得的图形，判断p与x的函数关系式；
（2）如果这种运动服的买入件为每件40元，试求销售
利润y（元）与卖出价格x（元/件）的函数关系式
（销售利润=销售收入－买入支出）；
（3）在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？
24、如图9，已知C、D是双曲线
在第一象限分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点。设C（x1，y1）、D（x2，y2），连结OC、OD（O是坐标有点），若∠BOC=∠AOD=α，且tanα=
，OC=
。
（1）求C、D的坐标和m的值；
（2）双曲线上是否存在一点P，使得ΔPOC和ΔPOD的
面积相等？若存在，给出证明，若不存在，说明理由。
25、已知，如图10(甲)，正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点, P不运动到M和C,以AB为直径做⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.
（1）求四边形CDFP的周长；
（2）试探索P在线段MC上运动时，求AF·BP的值；
（3）延长DC、FP相交于点G,连结OE并延长交直线DC于H(如图乙),是否存在点P,
使△EFO∽△EHG?如果存在,试求此时的BP的长;如果不存在,请说明理由。
2005年梅州市中考数学试卷答案
一、填空题：
1、－2b； 2、 b2； 3、x≤2； 4、0：00；5、1； 6、x＜2，x＞2，x=2；7、180；
8、25π；9、135°；10、①从1978年起，城乡居民储蓄存款不断增长，②2000年到2003年城乡居民储蓄存款的增长速度较快。（答案不唯一）
二、选择题：
11、A； 12、B； 13、B； 14、B； 15、C
三、解答下列各题
16、解：原式=
；
17、这7天收集电池的平均数为：
（个）
50×30=1500（个）
∴这七天收集的废旧电池平均数为50个，四月份该班收集的废电池约1500个。
18、解：解法一：原方程可化为：
， ∴ x (2x+1)=2 (X+1)2 解得：
经检验可知，
的原方程的解。
解法二：设
，则原方程化为：y2+y－2=0 , ∴ (y+2)(y－1)=0
∴y=－2或y=1
当y=－2时，
，解得:
当y=1时， 
，方程无解
经检验可知，的原方程的解。
19、解：作法一：作AB边上的中线；
作法二：作∠CBA的平分线；
作法三：在CA上取一点D，使CD=CB。
20、解：（1）AE=CF（OE=OF；DE⊥AC；BF⊥AC；DE∥BF等等）
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∠DCE=∠BAF
又∵AE=CF，∴AC－AE=AC－CF，∴AF=CE，∴ΔDEC≌ΔBAF
21、解：设学校每天用电量为x度，依题意可得：
解得：
，即学校每天用电量应控制在21度～22度范围内。
22、解：（1）过P作PQ⊥AB于Q，则PQ=y
∵∠A=∠A，∠ACB=∠AQP=90°
∴RtΔAQP≌ΔRtΔACB， ∴PQ∶BC=AP∶AB
依题意可得：BC=3，AP=4－x
∴ 
化简得：
（2）令x≤y，得：
，解得：
∴当
时，圆P与AB所在直线相离；
时，圆P与AB所在直线相切；
时，圆P与AB所在直线相交。
23、解：（1）p与x成一次函数关系。
设函数关系式为p=kx+b ，则
解得：k=－10，b=1000 ， ∴ p=－10x+1000
经检验可知：当x=52，p=480，当x=53，p=470时也适合这一关系式
∴所求的函数关系为p=－10x+1000
（2）依题意得：y=px－40p=(－10x+1000)x－40(－10x+1000)
∴ y=－10x2+1400x－40000
(3)由y=－10x2+1400x－40000 可知，当
时，y有最大值
∴ 卖出价格为70元时，能花得最大利润。
24、解：（1）过点C作CG⊥x轴于G，则CG=y1，OG=x1 ，
在RtΔOCG中，∠GCO=∠BOC=α，∵
，
∴
即
又∵ 
∴ 
，即
，
解得：x1=1或x1=－1（不合舍去）
∴x1=1，y1=3，∴点C的坐标为C（1，3）。
又点C在双曲线上，可得：m=3
过D作DH⊥y轴于H，则DH=y2，OH=x2
在RtΔODH中，
，
∴
即
又∵ x2y2=3
解得：y2=1或y2=－1（不合舍去）
∴x2=3，y2=1，∴点D的坐标为D（3，1）
（2）双曲线上存在点P，使得
，
这个点就是∠COD的平分线与双曲线的
交点
∵点D（3，1），∴OD=
，∴OD=OC
点P在∠COD的平分线上，则∠COP=∠POD，又OP=OP
∴ΔPOC≌ΔPOD ，∴
25、解（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=90°,
∴AF、BP都是⊙O的切线,
又∵PF是⊙O的切线
∴FE=FA,PE=PB
∴四边形CDFP的周长为：
AD+DC+CB=2×3=6
(2 ) 连结OE,PF是⊙O的切线
∴OE⊥PF.在 Rt△AOF和Rt△EOF中,
∵AO=EO,OF=OF
∴Rt△AOF≌Rt△EOF ∴∠AOF=∠EOF,
同理∠BOP=∠EOP,∴∠EOF+∠EOP=
180°=90°,∠FOP=90°
即OF⊥OP，∴AF·BP=EF·PE=OE2=1
(3 )存在。∵∠EOF=∠AOF,∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF,
∴当∠EFO=∠EHG=2∠EOF, 即∠EOF=30°时,Rt△EFO∽Rt△EHG
此时,∠EOF=30°, ∠BOP=∠EOP=90°-30°=60°∴BP=OB·