九、开放型试题
例1．（2005年梅州）如图6，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点。
（1）如果 ，则ΔDEC≌ΔBFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；
（2）证明你的结论。
知识点：考查了矩形的性质及三角形全等的判定。
精析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件。
准确答案：解：（1）AE=CF（OE=OF；DE⊥AC；BF⊥AC；DE∥BF等等）
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∠DCE=∠BAF
又∵AE=CF，∴AC－AE=AC－CF，∴AF=CE，∴ΔDEC≌ΔBAF
中考对该知识点的要求：开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。
目标达成：
9－1－1. (2005年黑龙江课改）如图, E、F是□ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件: ___________ ，使四边形AECF是平行四边形.
9－1－2、（2005年金华）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC
上，BD＝BE.
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明.
你添加的条件是： .
证明：
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： . （只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）
9－1－3、（2005年玉溪）如图19，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，AB＜CD且∠ABC为锐角，若AD＝4，BC＝12，E为BC上一点。
问：当CE分别为何值时，四边形ABED是等腰梯形？直角梯形？
请分别说明理由。
例2、（2005年长沙）己知点E、F在
的边 AB 所在的直线上，且
，
，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．
⑴如图l，如果点E、F在边AB上，那么
；
⑵如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_______________ ；
⑶如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_________ ；
对⑴⑵⑶三种情况的结论，请任选一个给予证明．
知识点：考查了全等三角形、平行四边形的判定及性质以及平行线，分线段成比例或相似三角形的性质
精析：这是一道探索、确定结论的开放型试题，解决这类问题的方法是根据条件，结合已学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解。
准确答案：
(2)线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG＋FH=AC
(3)线段 EG、FH、AC的长度的关系为：EG－FH=AC
证明(2)：如图2，过点E作EP//BC交AC于P
∵EG//AC，∴四边形EPCG为平行四边形
∴EG=PC ∵HF//EG//AC
∴
，
又∵AE=BF ∴
≌
∴
∴AC=PC+AP=EG+FH
即EG+FH=AC
中考对该知识点的要求：观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。
目标达成：
9－2－1、（2005年武汉）如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D。
(1)求证：∠DAC=∠BAC；
(2)若把直线EF向上平行移动，如图2，EF交⊙O于G、C两点，若题中的其他条件不变，这时与∠DAC相等的角是哪一个?为什么?
 | |||
 | |||
9－2－2． （2005年包头） 如图1，⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。 (1)求证：CE∥DF；
(2)在图1中，若CD和EF可以分别绕点A和点B转动，当点C与点E重合时(如图2)，过点E作直线MN∥DF，试判断直线MN与⊙O1的位置关系，并证明你的结论。
 |  | ||
9－2－3、（2005年四川）己知：如图，E、F分别是□ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF。
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，
试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论。
9－2－4、（2005年黄冈）如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA = EC。
⑴ 求证：AC 2 = AE·AB；
⑵ 延长EC到点P，连结PB，若PB = PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由。
 |
9－2－5、（2005年枣庄）如图，⊙O1和⊙O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，A,B为切点，试判断以线段AB为直径的圆与直线O1O2的位置关系，并说明理由．
 |
例3、（2005年陕西课改）如图，直线CF垂直且平分AD于点E，四边形ADCB是菱形，BA的延长线交CF于点F，连接AC。
（1）
图中有几对全等三角形，请把它们都写出来；
（2）证明：△ABC是正三角形。
知识点：考查三角形全等的判定、垂直平分线的性质及菱形的性质及等边三角 形的判定等知识点。
精析：本题需学生根据给定的条件，通过观察，分析，探索多个不明确的结论。求解此类问题时，切勿凭空乱想，应仔细对照条件，观察图形特征，联想已学知识，方法或已解决过的问题，全方位的、多角度地作全面分析。
准确答案：（1）图中有四对全等三角形，分别为△ABC≌△CDA，△AEF≌△DEC，△DEC≌△AEC，△AEF≌△AEC。
（2）证明：
∵CF垂直平分AD， ∴AC＝CD
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA ∴AB＝BC＝AC ∴△ABC为正三角形。
中考对该考点的要求：这类试题因为对学生的观察能力、分析问题和解决问题的能力有一定的要求，所以最近几年中考试题的命题热点。
目标达成：
9－3－1（2005年武汉）已知：如图，在△ABC中，点D、E分贝在边AB、AC上，连结DE并延长交BC的延长线于点F，连结DC、BE。若∠BDE＋∠BCE＝180°.
（1）写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；
（2）请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由。
9－3－2、（2005年宁德）如图，已知E、F是□ABCD的边BA、DC延长线上的点，且AE＝CF，线段EF分别交AD、BC于点M、N。
请你在图中找出一对全等三角形并加以证明。
解：我选择证明△___________≌△___________.
9－3－3、（2005年内江市课改）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线
上，且过A、B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D、E，请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。
9－3－4、（2005年陕西）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O。
（1） 图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；
（2） 任选（1）中的一对全等三角形加以证明。
9－3－5、（2005年宁波）如图,△ABC中,AB=AC,过点A作GE∥BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E、G.试在图中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明。
能力提高：
9－1、（2005年北京海淀区）已知△ABC，分别以AB、BC、 CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF.
（1） 如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；
（2）
如图2，当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和.
9－2．（2005年河南）如图，给出五个等量关系：①AD=BC、②AC=BD、③CE=DE、④∠D=∠C、
⑤∠DAB=∠CBA。请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确命题(只需写出一种情况)，并加以证明。
9－3．（2005年武汉）将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。
（1）将图1中△
绕点C顺时针旋转45°得图2，点
与AB的交点，
求证：
；
（2）将图2中△绕点C顺时针旋转30°到△
（如图3），点
与AB的交点。线段
之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；
（3）将图3中线段
绕点C顺时针旋转60°到
（如图4），连结
，求证：⊥AB.
9－4、（2005年河南华师实验区）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，P为梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于点E、F，且PA＝PD。
（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；
（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明。
9－5、（2005年佛山）已知任意四边形ABCD，且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q．
（1）若四边形ABCD如图①，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×”）．
甲：顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形；（ ）
乙：顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形．（ ）
（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断．
（3）若四边形ABCD如图②，请你判断（1）中的两个结论是否成立？
9－6、（2005年河南课改）如图，在□ABCD中，点E、F在BD上，且BF＝DE。
⑴、写出图中所有你认为全等的三角形；
⑵、延长AE交BC的延长线于G，延长CF交DA的延长线于H(请补全图形)，证明四边形AGCH是平行四边形。
9－7．（2005年湖南湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，D为垂足。由以上两个条件可得________。(写出一个结论)
9－8．（2005年徐州）如图11，AC是平行四边形ABCD的对角线。
(1)用直尺和圆规作AC的垂直平分线和边AD、BC分别相交于点E、F，垂足为O。连结AF、CE(保留作图痕迹，不写作法)
(2)判断四边形AFCE是否为菱形，并说明理由。
9－9．（2005年武汉）在某数学小组的活动中，组长为大家出了一道函数题：这是一个反比例函数，并且y随x的增大而减小.请你写山一个符合条件的函数表达式____.
9－10、（2005年青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。
（1）求证：
；
（2）四边形MENF是什么图形？请证明你的结论；
（3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由。
9－11．（2005年南京）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角。例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°。
（1）
判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）。
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°。（ ）
② 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°（ ）
（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 （写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形 。
（3）写出两个多边形，它们都是旋转对图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件
①是轴对称图形，但不是中心对称图形：
②既是轴对称图形，又是中心对称图形：
9－12．（2005年太原）如图，在锐角△ABC中，BA=BC，点O是边AB上的一个动点(不与点A、B重合)，以O为圆心，OA为半径的圆交边AC于点M，过点M作⊙O的切线MN交BC于点N。
(1)当OA=OB时，求证：MN⊥BC；
(2)分别判断OA＜OB、OA＞OB时，上述结论是否成立。
请选择一种情况，说明理由。
9－13、（2005年茂名）三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，
（1） 若AB=6，求线段BP的长；（6分）
（2） 观察图形，是否有三角形与ΔACQ全等？并证明你的结论，
9－14、（2005年太原丽水）如图，AB是⊙O的直径，CB、CE分别切⊙O于点B、D，
CE与BA的延长线交于点E，连结OC、OD．
（1）求证：△OBC≌△ODC；
（2）已知DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，
选用以上适当的数，设计出计算⊙O
半径r的一种方案：
①你选用的已知数是 ；
②写出求解过程．（结果用字母表示）
9－15、（2005年恩施）如图5,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分∠DAB,延长AB交DC于点E。
（1）判定直线DE与圆O的位置关系，并说明你的理由；
（2）求证：AC2=AD∙AB；
（3）以下两个问题任选一题做答
① 若CF⊥AB于点F,试讨论线段CF、CE和DE三者的数量关系;
②若EC=5
,EB=5,求图中阴影部分的面积.
|
9－16、（2005年江苏）如图1：⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在
上取一点D，分别作直线CD、ED交直线AB于点F、M。
（1）求∠COA和∠FDM的度数；
（2）求证：△FDM∽△COM；
（3）如图2：若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在
上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论。
9－2－17、（2005年武汉）已知：如图，直线
交
轴于
，交
轴于
，⊙与轴相切于O点，交直线于P点，以为圆心P为半径的圆交轴于A、B两点，PB交⊙于点F，⊙的弦BE＝BO，EF的延长线交AB于D，连结PA、PO。
（1）求证：
；
（2）求证：EF是⊙的切线；
（3）
的延长线交⊙于C点，若G为BC上一动点，以
为直径作⊙
交
于点M，交
于N。下列结论①
为定值；②线段MN的长度不变。只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值。
9－1－1、略
9－1－2、添加条件例举：BA＝BC；∠AEB＝∠CDB；∠BAC＝∠BCA；AE⊥BC，
CD⊥AB等.
证明例举（以添加条件∠AEB＝∠CDB为例）：
∵ ∠AEB＝∠CDB，BE＝BD，∠B＝∠B，
∴ △BEA≌△BDC.
另一对全等三角形是：△ADF≌△CEF或△AEC≌△CDA.
9－1－3、（1）当CE＝4时，四边形ABED是等腰梯形。
理由如下：
在BC上截取CE＝AD，连结DE、AE，
∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形。∴AE＝CD＝BD。
∵BE＝12－4＝8＞4，即BE＞AD，∴AB不平行于DE，
∴四边形ABED是梯形。 ∵AE∥CD，CD＝BD，
∴∠AEB＝∠C＝∠DBC。
在△ABE和△DEB中，
∴△ABE≌△DEB （SAS）。∴AB＝DE，
∴四边形ABED是等腰梯形。
（也可不作辅助线，通过证明△ABD≌EDC而得AB＝DE）
（2）当C
＝6时，四边形ABD是直角梯形。
理由如下：
在BC上取一点，使C＝B＝
＝6，连结D，
∵BD＝CD ∴D⊥BC
又∵B≠AD，AD∥B， ∴AB不平行于D ∴四边形ABD是直角梯形。
9－2－1、
9－2－2、
9－2－3．
9－2－4、⑴连结BC
提示：可证△AEC∽△ACB 所以得
，即AC2＝AB·AE
⑵PB与⊙O相切
连结OB，∵PB＝PE ∴∠PBE＝∠PEB
∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠PEB＝∠1＋∠3＝2∠1
而∠PBE＝∠2＋∠PBC，∴∠OBC＝∠OCB
而Rt△BCF中，∠OCB＝90°－∠2＝90°－∠1
∴∠OBC＝90°－∠1 ∴∠OBP＝∠OBC＋∠PBC＝∠1＋（90°－∠1）＝90°
∴PB⊥OB，即PB为⊙O的切线。
9－2－5、解：直线O1O2与以线段AB为直径的圆相切．
理由如下：
过P作⊙01，⊙02的公切线PM交AB于点M，则 AM=MB=MP，O1O2⊥MP.
∴M点为以线段AB为直径的圆的圆心，且点P在⊙M上．
∵⊙01和⊙O2外切于点P， ∴直线O102过点P.
∴直线01O2与以线段AB为直径的圆相切．
9－3－1、．解：（1）△ADE∽△ACB，△ECF∽△BDF，△FDC∽△FBE.
（2）略。
9－3－2、．解法一：我选择证明△EBN≌△FDM
证明：□ABCD中，AB∥CD，ÐB＝ÐD，AB＝CD ∴ÐE＝ÐF
又∵AE＝CF ∴BE＝DF ∴△EBN≌△FDM
解法二：我选择证明△EAM≌△FCN
证明：□ABCD中，AB∥CD，ÐDAB＝ÐBCD
∴ÐE＝ÐF ，ÐEAM＝ÐFCN
又∵AE＝CF ∴BE＝DF ∴△EBN≌△FDM
9－3－3、△ACD≌△CBE
证：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°
∴∠CAD=∠BCE
又∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB
∴△ACD≌△CBE
9－3－4、解：（1）图中有三对全等三角形：△AOB≌△AOD，
△COB≌△COD，△ABC≌△ADC。
（2） 证明△ABC≌△ADC。
9－3－5、解：△BCF≌△CBD. △BHF≌△CHD. △BDA≌△CFA. (注意答案不唯一)
证明△BCF≌△CBD.
∵AB=AC. ∴∠ABC=∠ACB. -
∵BD、CF是角平分线. ∴∠BCF=
∠ACB，∠CBD=∠ABC.
∴∠BCF=∠CBD. 又BC=CB. ∴△BCF≌△CBD.
9－1、1．解：（1）略.
（2）解法一：过A作AM∥FC交BC于M，连结DM、EM.
因为∠ACB=60°，∠CAF=60°，所以∠ACB=∠CAF.
所以AF∥MC，所以四边形AMCF是平行四边形.
又因为FA=FC， 所以□AMCF是菱形.
所以AC=CM=AM，且∠MAC=60°.
在△BAC与△EMC中， CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE,
所以△BAC≌△EMC. 所以DM=BC.
则DM=EB，DB=EM. 所以四边形DBEM是平行四边形.
所以S△BDM+ S△DAM+ S△MAC= S△BEM+ S△EMC+ S△ACF.
即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF.
9－2、①AD=BC、②AC=BD；
9－3．（1）证明：过点
作CA的垂线，垂足为D
易知：△CD为等腰直角三角形
△DA是直角三角形，且∠A＝30°，
所以
故 
.
（2）解： 过点作C
的垂线，垂足为E，易知：△E
为等腰直角三角形（其中∠2＝∠A＋∠CA＝45°）
△CE是直角三角形，且∠1＝30°，所以
故 
（3）证明：将图3中线段绕点C顺时针旋转60°到，易证：
△
≌△
，于是∠
＝∠
＝45°， 故⊥AB.
9－4、①△ABP≌△DCP；②△ABE≌△DCF；③△BEP≌△CFP；④△BFP≌△CEP；
（2）以△ABP≌△DCP全等为例：
证明：∵AD∥BC，AB＝DC，
∴梯形ABCD为等腰梯形，∴∠BAD＝∠CDA，
又∵PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA，∴∠BAP＝∠CDP，
在△ABP和△DCP中，
∵
，∴△ABP≌△DCP。
9－5、（1）甲 √ 乙 ×
（2）证明（1）中对甲的判断：
连接EF、FG、GH、HE，
∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线。 ∴EF∥AC ，EF=AC，
同理，HG∥AC ，HG=AC， ∴EF∥HG，EF=HG．∴四边形EFGH是平行四边形．
9－6．、⑴、△ABE≌△CDF，△AED≌△CFB，△ABD≌△CDB；
⑵、∵BF＝DE，∴BF＋FE＝DE＋FE，即BE＝DE。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。
∴∠ABD＝∠CDB。
在△ABE和△CDF中：
∴△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，
∴HC∥CG，∴四边形AGCH为平行四边形。
9－7、
9－8、
9－9．答案不惟一，例如
，写出的关系式只要满足x·y值为正数即可.
9－10．（1）证明：
ABCD为等腰梯形
，
， 
（2）四边形MENF是菱形
（3）梯形的高等于底边BC的一半，连结MN
9－11．（1）①假②真；（2）①、③；（3）①如正五边形，正十五边形；②如正十边形，正二十边形
9－12、
5．
9－13.（1）
∽ΔADE
（2）图中的ΔEGP与ΔACQ全等…
证明：
ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形
既AC=EG
AD//HE
ΔEGP≌ΔACQ
9－14．（1）证明：∵CD、CB是⊙O的切线，∴∠ODC=∠OBC=90°，
OD=OB，OC= OC，
∴△OBC≌△ODC（HL）；
（2）①选择a、b、c，
②若选择a、b：由切割线定理：a2=b(b+2r)
，得r=
.
若选择a、b、c：
方法一：在Rt△EBC中，由勾股定理：(b+2r)2+c2=(a+c)2，得r=
.
方法二：Rt△ODE∽Rt△CBE，
，得r=
.
方法三：连结AD，可证：AD//OC，
，得r=
.
若选择a、c：需综合运用以上的多种方法，得r=
.
若选择b、c，则有关系式2r3+br2－bc2=0.
9－15、(1) DE是⊙O的切线. 提示： 连接OC
(2) ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ACB=900 ∵AD⊥DE ∠ADC=900
∴ ∠ACB= ∠ADC 又∠DAC=∠CAB ∴⊿DAC∽⊿CAB
∴AC2=AD∙AB
(3)①CF+CE=DE AC是∠DAB的平分线,且CD⊥AD、CF⊥AF, 则CF=CD
而DC+CE=DE 故CF+CE=DE
②∵DE是⊙O的切线 ∴ ∠BCE= ∠CAB
∠CEB公用 ∴⊿BCE∽⊿CAE
∴
∴AE=15 AB=10 
即CA=BC 则在Rt⊿ABC中,由CA2+BC2=AB2
解得 BC=5, CA=5
，故图中阴影部分的面积为 
－
9－16、解 ∠FDM＝1800－∠CDE＝1200
（2）证明：
∵∠COM＝1800－∠COA＝1200
∴∠COM＝∠FDM
在Rt△CGM和Rt△EGM中
∵
∴Rt△CGM≌Rt△EGM
∴∠GMC＝∠GME 又∠DMF＝∠GME
∴∠OMC＝∠DMF ∴△FDM∽△COM
（3）解：结论仍成立。
∵∠FDM＝1800－∠CDE
∴∠CDE的度数＝弧CAE的度数＝
的度数＝∠COA的度数
∴∠FDM＝1800－∠COA＝∠COM
∵AB为直径，CE⊥AB
∴在Rt△CGM和Rt△EGM中
∵
∴Rt△CGM≌Rt△EGM
∴∠GMC＝∠GME
∴△FDM∽△COM
9－17、1． 证明：（1）连结
。
∵
。
∴
,
,
∴
. ∴
,
得
，∴
。
又AB为直径，∴
,
∴
。
（2）延长ED交⊙于点H，连结PE。
BO为切线，∴
。
又∵BE＝BO，∴
。而
,∴
∽
,
∴
, ∴BE=BH, 有
。
又由（1）知，∴
，∴EF为⊙的切线。
（3）MN的长度不变。
过N作⊙的直径NK，连结MK。
则
，且
，又NK＝
，
∴
≌
，∴MN＝ED。而
，
，∴＝5，
∴
。 AB=16，且OD＝
，∴AD＝7，BD＝9。
，∴
。
故MN的长度不会发生变化，其长度为。