2006年汕头市高中一年级新课程数学必修１－４测试
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
1、求值：
（ ） Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
2、已知集合
，若
，则实数
的取值范围是（ ） Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
3、给出下面4个关系式：①
；②
；③
；
④
；其中正确命题的个数是
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
4、如图是容量为100的样本的频率分布直方图，
则样本数据在
内的频率和频数分别是
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
5、某路公共汽车5分钟一班准时到达A站，则任意一人在A站等车时间少于2分钟的概率为
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
6、正方体的全面积是24，则它的外接球的体积是
|
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
7、运行下列程序：
当输入168，72时，输出的结果是
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
8、在
中，已知
，的面积为
，则
的值为
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
9、函数
的值域是
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
10、若偶函数
在区间
上是减函数，
是锐角三角形的两个内角，且
，
则下列不等式中正确的是
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11、已知向量
，且
与
平行，则
．
12、已知函数
，若
，则
．
13、已知函数
的图像关于直线
对称，则
的值是 ．
14、计算
的程序框图如下：
其中空白框①应填入
空白框②应填入
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15、(13分)已知函数
．
（１）求的最小正周期；
（２）若的最大值为，求
的值．
16、(13分)连续掷两次骰子，以先后得到的点数
为点
的坐标，设圆
的方程
为
．
（１）求点
在圆上的概率；
（２）求点在圆外部的概率．
17、(13分)如图：正三角形ABC与直角三角形BCD所在平面互相垂直，且
，
．
（１）求证：
；
（２）求二面角
的正切值．
18、(13分)已知
，求
的值．
19、(14分)已知圆
，直线
．
（１）若
与
相切，求的值；
（２）是否存在值，使得与相交于
两点，且
（其中
为坐标原点），
若存在，求出，若不存在，请说明理由．
20、(14分)已知
是方程
的两个实根．
（１）当实数为何值时，
取得最小值？
（２）若都大于，求的取值范围．
2006年汕头市高中一年级新课程必修阶段测试
数学科参考答案
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分，四项选一项)
1．答案B
解：原式=sin(－2π+
)=sin=
．
2．答案B
a－1≤3
结合数轴 得 ，即3≤a≤4．
a+2≥5
3．答案B
解：①、③正确．
4．答案A
解：在[6，10)内频率为0.08×4=0.32，
频数为0.32×100=32．
5．答案C
解：设乘客到达A站的时刻为t，等车时间为x分钟，则0≤x≤5，
根据几何概型，等车时间少于2分钟的概率为P=
．
6．答案B
解：设正方体棱长为a，外接球半径为R，则6a2=24，
∴a=2，又2R=
a，∴R=，
∴V球=
πR3=4π．
7．答案D
解：当m≥n>0时，该程序的作用是求两个正整数的最大公约数，
因为168与72的最大公约数是24，所以输出结果是24．
8．答案A
解：S△ABC=·AB·AC·sinA=×4×1×sinA=，
∴sinA=
，∴cosA=±
=±，
∴AB·AC=AB·AC·cosA=4×1×(±)=±2．
9．答案A
解：y=sinx+1－sin2x=－(sinx－)2+
，
∵sinx∈[－1，1]，
∴sinx=时，ymax=，
又sinx=－1时，ymin=－1 ∴值域为[－1，]
10．答案C
解：∵偶函数f(x)在区间[－1，0]上是减函数，
∴f(x)在[0，1]上是增函数，
又α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β>
，
∴>α>－β>0，∴0<cosα<cos(－β)<1，
即0<cosα<sinβ<1，∴f(cosα)<f(sinβ)．
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．答案－4
解：a + b
=(2+x，－1)，2a－b =(4－x，4)
∵a + b与2a－b平行，∴(2+x)×4=－1×(4－x)，∴x=－4．
12．答案7
解：f(1)=a+
=3，∴f(2)=a2+
=(a+
)2－2=32－2=7．
13．答案－1
解：依设有f(
－α)=f(+α)，令α=，得
f(0)=f(
)，∴－k=1，∴k=－1
14．答案 ①S=S+i2； ②i=i+2
三、解答题：本大题共6个小题，共80分。
15．解：f(x)=(cosx－sinx)2+m ……2分
=cos2x+sin2x－2cosx·sinx+m ……4分
=1－sin2x+m ……6分
(Ⅰ)f(x)的最小正周期为T=
=π
． ……9分
(Ⅱ)当sin2x=－1时f(x)有最大值为2+m ， ……12分
∴2+m=3 ， ∴m=1 ． ……13分
16．解：m的值的所有可能是1，2，3，4，5，6，
n的值的所有可能是1，2，3，4，5，6， ……2分
点P(m，n)的所有可能情况有6×6=36种， ……4分
且每一种可能出现的可能性相等，本问题属古典概型问题． ……6分
(Ⅰ)点P在圆Q上只有P(1,4)，P(4,1)两种情况，
根据古典概型公式，点P在圆Q上的概率为p1=
=
， ……9分
(Ⅱ)点P在圆Q内的坐标是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共有8点，
所以点P在圆Q外部的概率为p2=1－
=
． ……13分
17．(Ⅰ)证明：∵DC⊥BC，且平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC,
∴DC⊥平面ABC，
又AB
平面ABC，∴DC⊥AB． ……5分
(Ⅱ)解：过C作CE⊥AB于E，连结ED，
∵AB⊥CD，AB⊥EC，CD∩EC=C，
∴AB⊥平面ECD，
又DE平面ECD，∴AB⊥ED，
∴∠CED是二面角D－AB－C的平面角， ……9分
设CD=a，则BC=
=a，
∵△ABC是正三角形，∴EC=BCsin60o=
，
在Rt△DEC中，tan∠DEC=
=
=
． ……13分
18．解：∵α∈(，π) ∴sinα=
=
， ……2分
∴tanα=
=－
， ……4分
∵tan(π－β)=
∴tanβ=－， ……6分
∴tan2β=
=
=－， ……9分
∴tan(α－2β)=
=
=
． ……13分
19．解：(Ⅰ)由圆方程配方得(x+1)2+(y－3)2=9，
圆心为C(－1，3)，半径为r=3， ……2分
若 l与C相切，则得
=3， ……4分
∴(3m－4)2=9(1+m2)，∴m=． ……5分
(Ⅱ)假设存在m满足题意。
由 x2+y2+2x－6y+1=0 ，消去x得
x=3－my
(m2+1)y2－(8m+6)y+16=0， ……7分
由△=(8m+6)2－4(m2+1)·16>0，得m>，
……8分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=
，y1y2=
．
OA·OB=x1x2+y1y2
=(3－my1)(3－my2)+y1y2
=9－3m(y1+y2)+(m2+1)y1y2
=9－3m·+(m2+1)·
=25－
=0 ……12分
24m2+18m=25m2+25，m2－18m+25=0，
∴m=9±2
，适合m>，
∴存在m=9±2符合要求． ……14分
20．解：(Ⅰ)∵△=16m2－16(m+2)=16(m2－m－2)≥0，
∴m≤－1或m≥2， ……3分
又∵x
+x
=(x1+x2)2－2x1x2=m2－2·
=(m－
)2－
，
∴当m=－1时，x+x有最小值. ……7分
(Ⅱ)(x1－
)(x2－)>0且(x1－)+(x2－)>0，
即x1x2－(x1+x2)+
>0且x1+x2－1>0， ……10分
－m+>0且m－1>0，
∴m<3，且m>1， ……12分
又∵△≥0， ∴2≤m<3 . ……14分
解法二：等价于较小的根
得解（过程略）。
参考答案
1．答案B，2．答案B，3．答案B，4．答案A，5．答案C
6．答案B，7．答案D，8．答案A，9．答案A，10．答案C
13．答案－1，12．答案7，11．答案－4，14．答案 ①S=S+i2； ②i=i+2
15．T==π，m=1 ，16．p1==，p2=1－=
17．tan∠DEC===
18．tan(α－2β)===
19．m=，存在m=9±2符合要求
20．当m=－1时，x+x有最小值，2≤m<3