向量的加

向量的加减法及实数与向量的积

一　 要求：1掌握向量的加减法的运算法则及运算律。2 掌握实数与向量的积的运算法则及运算律。3理解两个向量共线的充要条件，了解平面向量基本定理

二、重难点：1 向量的加减法的应用。2 实数与向量的应用。3 向量共线的充要条件与平面向量基本定理的应用。

三、考点　 1、向量的简单运算。2、三点共线及向量的平行。3、在几何方面的简单应用。

四、知识点：向量的加法运算

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

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　　　　　　  三角形法则　　　　　　  平行四边形法则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

（1）　　　 运算性质： +=+  (交换律)　(+)+=+( +) (结合律) +0=0+  =  

（2）　　　 减法运算　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 -　 三角形法则　　　　　　　 

 (4)　实数与向量的积　定义： =λ,其中λ>0时，λ与同向，λ =λ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　 当λ<0时，λ与反向，λ =λ  =-(-λ) ,　特殊地0  =0

(5)　　　　　 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使=λ.

平面向量基本定理：如果　,  是同一平面内的两个不共线向量。那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ₁,λ₂,使=λ₁+λ₂,　把不共线的向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

五、例题分析：

例1、　　　 已知A(-1，2)，B（2，8）及=，=，求C，D的坐标。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例2、　　　 设平行四边形ABCD中，=4，=5。求证E，F，C三点共线。　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 A　　　　　　　　　 D　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 E　　　　　 　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　  B　　　　　　　　  C

 变式1、5=4+5，5=+5k，若E，F，C三点共线，求k的植。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

变式2、5=4+，=4，若E，F，C三点共线，求

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例3、设四边形ABCDDE的对角线AC，BD的中点分别是E，F，设= ,=.

1）　试用, 表示。2）求证 CD-AB≤ EF≤(CD+AB)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

  例4、已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证:

作业：

1、　在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点,点N在BD上,3BN=BD,求证M,N,C三点共线.

2、　已知A(1,3),B(-1,-1),C(3,3),D(4,1),求一点E,使得A,B,E三点共线,C,D,E三点也共线.

3、　已知任意四边形ABCD的边AD,BC的中点分别为E,F,等式2=+成立吗?试给出证明.

4、　O是平面内一定点,A,B,C是平面内不共线的三个点,动点P满足= +λ(+),λ≥0,则P的轨迹一定通过△ABC的　　 (　 )

A、外心　　　　　B、内心　　　　 C、重心　　　　　　　 D、垂心