任意的三角函数·基础练习题
一、选择题
1．下列说法正确的是 [ ]
A．小于90°的角是锐角
B．大于90°的角是钝角
C．0°～90°间的角一定是锐角
D．锐角一定是第一象限的角
答：D
解：0°～90°间的角指的是半闭区间0°≤θ＜90°，小于90°的角可是以是负角或零角，大于 90°的角可以是任何象限的角．
2．设A={钝角}，B=｛小于180°的角}，C={第二象限的角}， D={小于180°而大于90°的角}，则 下列等式中成立的是 [ ]
A．A=C
B．A=B
C．C=D
D．A=D
答：D
解：第二象限的角不是钝角，小于180°的角也不一定是钝角．
[ ]
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一象限角或第三象限角
D．第一象限角或第二象限角
答：C
[ ]
A．重合
B．关于原点对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
答：C
解：∵α与-α角的终边关于x轴对称或重合于x轴上，θ=2kπ+
5．若α，β的终边互为反向延长线，则有 [ ]
A．α=-β
B．α=2kπ+β(k∈Z)
C．α=π+β
D．α=(2k+1)π+β(k∈Z)
答：D
解：在0～2π内α与β的终边互为反向延长线，则α=π+β或β=π+α，即α与π+β或α+π与β的终边相同，∴α=2kπ-(π+β)(k∈Z)或π+a=2kπ+β(k∈Z)∴α=2kπ-π+β(k∈Z)即α= (2k-1)π+β(k∈Z)．
[ ]
A．A=B
D．以上都不对
答：A
7．在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是 [ ]
A．α+β=π
B．α+β=2kπ(k∈Z)
C．α+β＝nπ(n∈Z)
D．α+β＝(2k+1)π(k∈Z)
答：D
解：α与β的终边关于y轴对称，α+β的终边与π的终边相同∴α+β=2kπ+π＝(2k+1)π(k∈Z)．
8．终边在第一、三象限角的平分线上的角可表示为 [ ]
A．k·180°+45°(k∈Z)
B．k·180°±45°(k∈Z)
C．k·360°+45°(k∈Z)
D．以上结论都不对
答：A
解：∵终边在直线y=x(x＞0)的角为α1=k·360°+45°(k∈Z)终边在直线y=x(x＜0)上的角为α2＝k·360°+225°(k∈Z)α1=2k·180°+45°，α2=2k·180°+180°+45°(k∈Z)α2=(2k+1)·180°+45°(k∈Z)
∴α＝k·180°+45°(k∈Z)．
9．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的四周角的弧度数为 [ ]
答：C
10．若1弧度的圆心角，所对的弦长等于2，则这圆心角所对的弧长等于 [ ]
答：C
解：∵1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，设半径为R，R·
11．已知函数y=sinx·cosx·tgx＞0，则x应是 [ ]
A．x∈R且x≠2kπ(k∈Z)
B．x∈R且x≠kπ(k∈Z)
D．以上都不对
答：C
[ ]
A．0个
B．1个
C．2个
D．多于2个
答：C
13．锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3，-2cos3)，则角α的弧度数为 [ ]
A．3
C．-3
答：D
14．在△ABC中，下列函数值中可以是负值的是 [ ]
A．sinA
D．tgA
答：D
终边上，则有
A．sinα＜sinβ
B．sinα=sinβ
C．sinα＞sinβ
D．以上皆非
答：B
[ ]
答：A
17．若tgθ+ctgθ=-2，则tgnθ+ctgnθ(n∈N)的值等于 [ ]
A．0
B．(-2)n
C．2(-1)n
D．-2(-1)n
答：C
18．已知：sinα+cosα=-1，则tgα+ctgα的值是
[ ]
A．2
B．-1
C．1
D．不存在
答：D
解：∵ sinα+cosα=-1，两边平方得1+2sinαcosα=1 ∴sinαcosα=0 sinα=0或cosα=0，∴tgα、ctgα不存在．
[ ]
A．0°＜x＜45°
B．135°＜x＜225°
C．45°＜x＜225°
D．0°≤x≤45°或135°≤x≤180°．
答：D
解：∵要使等式成立，cos2x≥0 ∴0°≤2x≤90°或270°≤2x＜360° ∴ 0°≤x≤45°域135°≤x＜180°．
[ ]
A．｛α0＜α＜π｝
答：A
[ ]
A．0
B．-1
C．2
D．-2
答：D
[ ]
A．第一象限或第四象限
B．第二象限或第三象限
C．X轴上
D．Y轴上
答：D
23．在△ABC中，若sin2A=sin2B则该三角形为
[ ]
A．等腰三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．直三角形
D．等腰直角三角形
答：B
解：∵sin2A=sin2B，∴2A=2B，或2A=π-2B
24．若f(cosx)=cos2x，则f(sin15°)= [ ]
答：D
[ ]
A．等于零
B．小于零
C．大于零
D．可取任意实数值
答：C
∴y＞0．
[ ]
答：A
27．cos1°+cos2°+cos3°+…+cos179°+cos180°的值是
[ ]
A．0
B．1
C．-1
D．以上都不对
答：C
解：cos179°=cos(180°-1°)=-cos1．同理cos178°=-cos2°…
又∵cos90°=0，∴原式=cos180°=-1．
[ ]
A．当α在第一、四象限时，取“+”号
B．当α在第二、四象限时，取“-”号
C．当α在第一、二象限时，取“+”号
D．当α在第二象限时，取“+”号
答：A
解：∵当α在第一象限时cscα＞0，tgα＞0 ∴ 取“+”号，∵当α在第四象限时cscα＜0，tgα＜0，∴取“+”号．
[ ]
A．｛-2，4｝
B．｛-2，0，4｝
C．｛-2，0，2，4｝
D．｛-4，-2，0，4｝
答：B
解：∵x在第一象限时，y=4，x在第二象限时，y=-2，x在第三象限时y=0，x在第四象限时y=-2，∴值域是｛-2，0，4｝．
二、填空题
30．终边落在坐标轴上的角的集合是____
解：终边在x轴上的角为x=Kπ(K∈Z)终边在y轴上的角x=kπ+
31．从5时到7时40分，分针旋转了____弧度，时针旋转了____弧度，如果分针长6cm，时针长4cm，分针比时针共走了____cm
32．一个扇形周长等于圆周长的一半，则扇形中心角的度数为____
34．自行车大链轮有48齿，小轮有20齿，当大链轮转过一周时，小轮转过角度是____度合____弧度．
答：(P-1)2
解：原式=p2+2p+1-4p=p2-2p+1=(p-1)2．
41．cos25°+cos215°+cos225°+cos235°+cos245°+cos255°+cos265°+cos275°+cos285=____
解：∵cos285°=sin25°，cos275°=sin215°，cos265°=
42．满足sinx=sin(-x)的x的范围是_____
答：2Kπ+π≤x≤2kπ+2π(k∈Z)
解：∵sinx=-sinx ∴ sinx≤0 2kπ+π≤x≤2kπ+2π(k∈Z)．
44．在△ABC中，若tgA·tgB·tgC＜0，那么这个三角形的形状是____
答：钝角三角形
解：∵A、B、C为三角形内角，tgA·tgB·tgC＜0，可以得出tgA、tgB、tgC中有一个小于零，若tgA＜0则A为钝角∴三角形为钝角三角形．
45．f(sinθ+cosθ)=sinθcosθ，则f(x)=____
三、解答题
46．写出与135°终边相同的角的集合，并从中求出终边位于-720°～720°之间的各角．
解：｛αα=k360°+135°，k∈Z｝，α=k360°+135°中K=-2时，α=-585°，k=-1，α=-225°；k=0，
α=135°；k=1，α=495°．
47．一条弦的长度等于半径r，试求该弦与劣弧所组成的弓形的面积．
48．12点以后在什么时候，时针与分针第一次重合？什么时候分针第一次在时针的反向延长线上？
51．已知tg2α=2tg2β+1，求证：sin2β=2sin2α-1
∴sin2β=2sin2α-1．
52．证明下列恒等式
证：(1)∵1-2csc2θ+cos4θ=(csc2θ-1)2=(ctg2θ)2=ctg4θ
∴1+csc4θ=2csc2θ+ctg4θ
53．求证：csc6β-ctg6β=1+3csc2βctg2β
证：csc6β-ctg6β=(csc2β-ctg2β)(csc4β+csc2βctg2β+ctg4β)=csc4β-2csc2βctg2β+ctg4β+3csc2βctg2β
=(csc2β-ctg2β)2+3csc2βctg2β=1+3csc2βctg2β．
55．已知：sin2Acsc2B+cos2Acos2C=1，求证：tg2Actg2B=sin2C
证：sin2Acsc2B+cos2Acos2C=1
sin2A(ctg2B+1)=1-cos2Acos2C
sin2Actg2B+sin2A=sin2C+cos2C-cos2Acos2C
sin2Actg2B=sin2C+cos2C(1-cos2A)-sin2A
sin2Actg2B=sin2C+cos2Csin2A-sin2A
sin2Actg2B=sin2C+sin2A(cos2C-1)
sin2Actg2B=sin2C-sin2Asin2C sin2Actg2B=sin2Ccos2A
∴tg2Actg2B=sin2C．
