北大附中2001—2002学年高一下学期数学期末考试
2002年7月3日
邓军
班张：____________ 姓名：_________ 成绩：__________
一、选择题（下列各题只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填写在答题卡上对应的位置，每个小题3分，共14小题，计42分）
1．设A，B，C是△ABC的三个内角，且tgA，tgB是方程
的两个实数根，那么△ABC是（）
（A）钝角三角形（B）锐角三角形
（C）等腰直角三角形（D）等边三角形
2．已知α为锐角，
，则cosα的值等于（）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．函数
的最大值是（）
（A）4（B）
（C）6（D）
4．将函数
的图象作如下那种变换，才能得到函数
的图象？（）
（A）向右平移
（B）向左平移
（C）向右平移
（D）向左平移
5．函数
在同一个周期内的图象是（）
6．函数
的最小正周期是（）
（A）2π（B）π
（C）
（D）
7．函数
的值域是（）
（A）（-4，0]（B）[-4，0）
（C）[-4，0]（D）[0，4]
8．圆台的侧面面积是它内切球表面积的
倍，则圆台母线和底面所成的角的大小是（）
（A）30°（B）45°
（C）60°（D）75°
9．圆锥侧面展开图是一个半径为12的半圆，则这个圆锥的内切球体积是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
10．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为S，那么圆柱的体积为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
11．长方体的一个顶点上的三条棱分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（）
（A）
（B）
（C）50π（D）200π
12．圆锥的侧面积为8π，侧面展开图的圆心角是，则圆锥的体积为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
13．正四棱锥P-ABCD中，高PO的长是底面长的
，且它的体积等于
，则棱AB与侧面PCD之间的距离是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
14．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则角C的大小为（）
（A）
（B）
（C）或（D）或
二、填空题（请把你认为的正确答案填写在答题卡的对应项内，每小题3分，共12分）
15．函数
的最大值是______最小值是________。
16．设f(x)是以5为周期的奇函数，f(-3)=1，又tgα=3，则
17．在棱长为2的正方体
中，对角线在六个面上的射影长度总和为____
18．一个棱台两底面积分别为18和128，一个平行于两底的截面将棱台的高分为1：2的两部分，则此截面的面积为_______
三、解答题（需要写出详细的解题过程，共46分）
19．求cos55°·cos65°+cos65°·cos175°+cos55°·cos175°的值。
20．在△ABC中，a,b,c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果满足条件
，且A≠B，求证：△ABC是直角三角形。
21．如图，正三棱锥V-ABC的底面边长为a， 侧棱与底面所成的角等于θ，过底面一边作棱锥的截面，当截面与底面所成二面角为何值时，截面面积最小？并求出最小值。
22．如图，在直三棱柱
中，
，∠ACB=90°，E，F，G分别为AC，
，AB的中点，（1）求证：
平面EFG（2）求三棱锥
的体积。
北大附中2001-2002学年高一下学期数学期末考试参考答案
一、选择题（每题3分共计42分）
1A 2A 3C 4C 5D 6C 7A 8C 9B
10D 11C 12A 13A 14A
二、填空题：（每题3分共计12分）
15． 0，-8
16．-1
17．
18．
三、解答题（共46分）
19．原式
和差化积 积化和差4分
整理2分
积化和差2分
结果2分
20．证：原式化为
整理2分
正整理2分
∵0<B<π，0·A<π ∴sinA≠0， sinB≠0
∴sinAcosA=sinBsinB. sin2A=sin2B 整理2分
sin2A-sin2B=0 和差化积2分
∴2cos(A+B)·sin(A-B)=0
∵A-B≠0 ∴sin(A-B) ≠0
∴cos(A+B)=0 整理2分
∴sinC=0
∴c=90°
∴△ABC是直角三角形 结果2分
21．解：作VO⊥平面ABC，O为垂足，因为V-ABC是正三棱锥，所以O为△ABC的中心，连结AO并延长交BC于D则AD⊥BC，∠DAO=θ连VD，Pθ
∴BC⊥VA ∴BC⊥平面VAD PDC平面VAD 证明4分
∴PD⊥BC ∴∠PDA为截面与底面所成角，设为x，在△PAD中，∠PAD=θ，∠PDA=x，∴∠APD=180°-（θ+π） 写出4分
根据连结定理
4分
当且仅当sin(θ+x)=1，θ+x=90°，x=90°-θ的等号成立，∴PD最小
∴
最小面积
解法2 ∵截面△PBC中，BC=a为定值，∴
，若是S最小，只须PD最小即可，
∵VA，BC为异面直线，∴当PD为异面直线VA，BC的公垂线时，PD最短。
∴当PD⊥BC，PD⊥VA时，PD最短，在Rt△APD中，∵
∴
，∴
22．解：（1）E，F为△AB，AC中点，∴GE∥BC。
∵
，∴
，
∵
平面GEF，
平面GEF，
∴平面EFG 4分
（2）∵平面EFG，∴
与
到平面EFG的距离相等。 2分
∴
2分
∵
，
，
∴
平面
∵
∴GE⊥平面
2分
∵
2分
∴
1分