高一数学竞赛培训题（四）
函数的图象和性质
1．作出下列函数的图象（1）
；（2）
2．设函数
，求函数
的图象与
轴所围成的封闭部分的面积．
3．
为何实数时，方程
有四个互不相等的实数根．
4．设
，在
上定义函数
如下：设
，则
表示
的数字之和，例如
．设函数的值域是集合
，求证：
5．设实数
满足
，求
的值．
6．设函数
对任意实数满足：
．求证：
的根在区间
上至少有
个，且是以
为周期的周期函数．
7． 已知
，定义
（１）求
（２）设
，求证：
中至少含有
个元素．
8．函数的定义域关于原点对称，但不包括数
，对定义域中的任何实数，在定义域中存在
，使得
，且满足以下三个条件：（１）是定义域中的数，
或
，则
；（２）
（是一个正常数）；（３）当
时，
．求证：（１）是奇函数；（２）是周期函数，并求出其周期；（３）在
内为减函数．