金乡高级中学第三次月考高一数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）
1、已知全集
，集合
，
，则集合
(
U
)等于（ ）
或
或
或 
或
2、若函数
的反函数的图象过
点，则点坐标可能是 （ ）
A、（2，5） B、（1，3） C、（5，2） D、（3，1）
3、已知
是第三象限角，
且
，则
等于 （ ）
A、
B、
C、
D、
4、已4知sin
cos=
，且
，则cos－sin的值为（ ）
5、若数列
的前
项之和
，那么这个数列的通项公式为（ ）
6、不等式
的解集是 （ ）
A、
B、[-1，3] C、
D、
7、已知数列
中，
，则
等于（ ）
445 765 1080
3105
8、将函数y=f(x)sinx的图象向右平移
个单位后，再作关于x轴对称的曲线，得到函数y=1－2sin2x,
则f(x)是
（ ）
A．cosx B．2cosx C．sinx D．2sinx
9、若
，
，则
与
的夹角为 （ ）
A、
B、
C、
D、
10、已知函数
为偶函数，其图象与直线
的某两个交点横坐标为
，
的最小值为
，则 （ ）
A、
，
B、
， C、，
D、 ，
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
11、若
，
，则
=__________。
12、已知
，
，与的夹角为
，要使
与垂直，则
=
。
13、在“ + 
”中的“
”处分别填上一个自然数，并使它们的和最小；
14、定义运算
为:
例如，
,则函数f(x)=
的值域为 .
金乡高级中学第三次月考答题纸
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 |
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
11、 12、 13、 14、
三、解答题（本大题共6小题，满分84分）
15、（本题满分14分）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，
⑴求函数；⑵解不等式
。
16、（本题满分14分）已知函数
、
为 常数，且
）的图象过点（0，
），且函数的最大值为2。
⑴求函数
的解析式，并写出其单调递增区间；
⑵若函数的图象按向量
作移动距离最小的平移后，使所得图象关于
轴对称，求出向量
的坐标及平移后的图象对应的函数解析式。
17、（本题满分14分）设、是两个不共线的非零向量（
）
⑴设
，
，
那么当实数
为何值时，
、
、
三点共线？
⑵若
且与夹角为120°，那么实数
为何值时
的值最小？
18、（本题满分14分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池（平面图如图所示），池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁厚忽略不计）
⑴污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；
⑵如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低。
19、（本小题满分14分）已知函数
、
为常数，且
，若
，且方程
有两个相等的实根。（1）求函数
的表达式；（2）设数列
满足条件：
，且
，求数列的通项公式。
20．(本题满分14分) 已知数列{an}中，a1>0, 且an+1=
，
(Ⅰ)试求a1的值，使得数列{an}是一个常数数列；
(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立；
(Ⅲ)若a1 = 2，设bn = an+1－an (n = 1，2，3，…)，并以Sn表示数列{bn}的前n项的和，求证：Sn<
．
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四、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | C | C | D | B | D | C | B | B | C | A |
五、填空题
11、-
12、2 13、10 15 14、[-1，
]
六、解答题
15、（本题满分14分）已知是定义在上的奇函数，当时， ，
⑴求函数；⑵解不等式。
f(x)=
x=0显然成立 
得 ０<x<2 
得 x<-1 综述（-
-1）
16、（本题满分14分）已知函数、为 常数，且）的图象过点（0，），且函数的最大值为2。
⑴求函数的解析式，并写出其单调递增区间；
⑵若函数的图象按向量作移动距离最小的平移后，使所得图象关于轴对称，求出向量的坐标及平移后的图象对应的函数解析式。
解：（1）
所以函数
的解析式是
的单调递增区间是
（2）∵平移后的图象对应的函数解析式是
图象关于y轴对称，即
为偶函数，
恒成立
， 
故
，图象对应的函数解析式为
17、（本题满分14分）设、是两个不共线的非零向量（）
⑴设，，那么当实数为何值时，、、三点共线？
⑵若且与夹角为120°，那么实数为何值时的值最小？
（１）
,
（２）
18、（本题满分14分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池（平面图如图所示），池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁厚忽略不计）
⑴污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；
⑵如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低。
解：设污水处理池的长为x米，则宽为
米。
总造价
。
=36000（元）
当且仅当
时，即x=15等号成立。
记g(x)=x+
,显然是减函数，
有最小值，相应造价f(x)有最小值。此时宽也不超过14.5
19、（本小题满分14分）已知函数、为常数，且，若，且方程有两个相等的实根。（1）求函数的表达式；（2）设数列满足条件：，且，求数列的通项公式。
解 ：(1)∵f(2)=1，∴
① 又f(x)=x，即
，化简得ax2+(b—1)x=0(a≠0)，
又因为方程f(x)=x有两个相等的实根，∴△＝（b—1）2＝0，
解得b＝1，把它带入①式解得a＝，∴ f(x)=
（2）∵由（1）知f(x)=
，则
由Xn+1=f(Xn)，X1=2，则
,
所以
故数列{
}是以为首项，以为公差的等差数列
∴=+（n—1）=
，∴数列
的通项公式为
。
20．(本题满分14分) 已知数列{an}中，a1>0, 且an+1=，
(Ⅰ)试求a1的值，使得数列{an}是一个常数数列；
(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立；
(Ⅲ)若a1 = 2，设bn = an+1－an (n = 1，2，3，…)，并以Sn表示数列{bn}的前n项的和，求证：Sn<．
解：(Ⅰ)欲使数列{an}是一个常数数列，则an+1=
= an ……………………
又依a1>0，可得an>0并解出：an=
，即a1 = an = ……………………
(Ⅱ)研究an+1－an=－
=
(n≥2)
注意到
>0
因此，可以得出：an+1－an，an－an－1，an－1－an－2，…，a2－a1有相同的符号
要使an+1>an对任意自然数都成立,只须a2－a1>0即可.
由
>0，解得：0<a1<……………………………………………
(Ⅲ)用与(Ⅱ)中相同的方法，可得
当a1>时，an+1<an对任何自然数n都成立.
因此当a1=2时，an+1－an<0 ……………………………………………
∴ Sn= b1+b2+…bn
=a2－a1 + a3－a2 +…+ an+1－an
=a1－a2＋a2－a3＋…＋an－an+1
=a1－an+1=2－an+1 ………………………………………………………
又：an+2=
< an+1，可解得an+1>,
故Sn<2－=………………………………………………………………