江苏省梁丰高级中学2009届高三数学摸底考试试题（苏教版）
考试时间150分钟
一、填空题（本题共14题，每题5分，共70分，请将正确答案填写在答题试卷上）
1、已知
为实数集，
，则
.
2、若复数
，则
.
3、已知0＜a＜1，
，则
与1三者的大小关系是 .
4、如图（下面），一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是 .
5、设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线
与
的位置关系是 .
6、已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60º，那么 a+3b 等于 .
7、如图（下面）已知点F1、F2分别是椭圆
的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率
是 .
8、已知函数
，则方程
的实根共有 .
9、如果数据x1、x2、…、xn 的平均值为
，方差为S2 ，则3x1+5、3x2+5、…、3xn+5 的方差为 ．
10、若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则
的值为 .
11、设奇函数
在
上是增函数，且
．若函数，
对所有的
都成立，则当
时，
的取值范围是 .
12、考察下列一组不等式：
.
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________.
13、若框图所给的程序运行的结果为S=132，那么判断框中
应填入的关于k的判断条件是 .
14、等差数列
的前
项和为
，公差
. 若存在正整数
，使得
，则当
（
）时，有
（填“>”、“<”、“=”）.
.
答题试卷 班级 姓名 学号
一、填空题（本题共14题，每题5分，共70分）
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11.
12.
13． 14.
二、解答题（本题6大题，共90分）
15．（本小题满分14分）
已知：
，
（
）.
(1) 求关于
的表达式，并求的最小正周期；
(2) 若
时的最小值为5，求
的值.
16．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系
，已知圆心在第二象限、半径为
的圆
与直线
相切于坐标原点
．椭圆
与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为
．
（1）求圆的方程；
（2）试探究圆上是否存在异于原点的点
，使到椭圆右焦点
的距离等于线段
的长，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
是
的中点．
（1）证明
；
（2）证明
平面
；
18、（本小题满分14分）
设数列
的前项和为，且
；数列为等差数列，且
，
.
(1)求数列的通项公式；
(2)若
，
为数列
的前项和. 求证：
.
19．（本小题满分16分）
某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，
）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
20．（本小题满分18分）
已知函数
(1) 若在
上单调递增，求
的取值范围；
(2) 若定义在区间D上的函数
对于区间D上的任意两个值
总有以下不等式
成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.
试证当
时，为“凹函数”.
高三数学模拟试题 班级 姓名 学号
附加题（理科考生做，本大题共4题，满分40分.考试时间30分钟）
21．（本题10分）
和
的极坐标方程分别为
．
（1）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过，交点的直线的直角坐标方程．
22.（本题10分）
已知实数
满足
，
.试求实数的取值范围.
23．（本小题满分10分）
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为
，
，
，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，
．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为
，求随机变量的期望．
24．（本小题满分10分）
右图是一个直三棱柱（以
为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为
．已知
，
，
，
，
．
（1）设点是
的中点，证明：
平面；
（2）求二面角
的大小；
（3）求此几何体的体积．
数学试题参考答案和评分标准
一、填空题（每题5分，共70分）
1.
2. 
3. 1＜n＜m 4. 
5. 垂直 6. 
7. 
8. 7个 9. 9S2
10. 4 11. 
或
或
12. 
（或
为正整数）.注：
填
以及是否注明字母的取值符号和关系，均不扣分；
若填
或
可给3分.
13．
. 14．<
二、解答题（共90分）
15. 解：(1) 
……………………………………………………2分
………………………………………………………………………………………………4分
. …………………………………………………………………………………………………………6分
的最小正周期是
. …………………………………………………………………………………………………7分
(2) ∵
，∴
…………………………………………………………………8分
∴当
即
时，函数取得最小值是
. ………………………10分
∵
，∴
. …………………………………………………………………………………………………12分
16.解析：（1）圆C：
；………………………………………………………………6分
（2）由条件可知a=5，椭圆
，∴F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；
直线CF的方程为y-1=
,即
，设Q（x,y），则
，解得
所以存在，Q的坐标为
.…………………………………………14分
17. （1）证明：在四棱锥中，因底面，
平面，故
．
，
平面
．
而
平面，
．
（Ⅱ）证明：由，
，可得
．
是的中点，
．
由（1）知，
，且
，所以
平面
．
而
平面，
．
底面
在底面内的射影是
，
，
．
又
，综上得平面．
（3）（课后加）：过点
作
，垂足为
，连结
．则（Ⅱ）知，平面，
在平面内的射影是，则
．
因此
是二面角
的平面角．
由已知，得
．设
，
可得
．
在
中，
，
，
则
．在
中，
．
所以二面角的大小是
．
18. 解：（1）由
，令
，则
，又
，所以
.
，则
.
……………………………………………………………………………………2分
当
时，由，可得
.
即
. …………………………………………………………………………………………………………………………4分
所以是以为首项，
为公比的等比数列，于是
. …………5分
（2）数列为等差数列，公差
,可得
. ………………7分
从而
. ……………………………………………………………………………………8分
∴
……………10分
∴
. …………………11分
从而
. …………………………………………………………………………14分
19．解：（1）设商品降价元，则多卖的商品数为
，若记商品在一个星期的获利为，
则依题意有
，
又由已知条件，
，于是有
，
所以
．
（2）根据（1），我们有
．
|
|
| 2 |
| 12 |
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
|
|
| 极小 |
| 极大 |
|
故
时，达到极大值．因为
，
，所以定价为
元能使一个星期的商品销售利润最大．
20.（1）由
，得
……………………………………2分
若函数为上单调增函数，则
在上恒成立，
即不等式
在上恒成立. 也即
在上恒成立. ……………………………………………………………………………………………………………………………4分
令
，上述问题等价于
，而为在上的减函数，则
，于是
为所求. …………………………………………………………6分
（2）证明：由 得
……………………………………………………………………………7分
………………………………………………………………8分
而
① ………………………………………10分
又
， ∴
② …………11分
∵
∴
，
∵ ∴
③ ……………………………………………………………………13分
由①、②、③得
即
，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. …………14分
21．解：以有点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）
，
，由
得
．
所以
．
即
为的直角坐标方程．
同理
为的直角坐标方程．
（2）由
解得
．
即，交于点
和
．过交点的直线的直角坐标方程为
．
22.解：由柯西不等式得，有
即
，由条件可得， 
解得，
当且仅当
时等号成立，
代入
时，
，
时，
.
故所求实数的取值范围是
.（学生只求范围，不写出等号成立不扣分）
23．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件
，
，
，
（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
．
（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为
，
所以
，
故
．
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件
，则
，
所以
，
，
，
．
于是，
．
24．解法一：
（1）证明：作
交
于
，连
．
则
．
因为是的中点，
所以
．
则
是平行四边形，因此有
．
平面
且
平面，
则面．
（2）如图，过
作截面
面，分别交
，
于，
．
作
于
，连
．
因为
面
，所以
，则
平面
．
又因为
，
，
．
所以
，根据三垂线定理知
，所以
就是所求二面角的平面角．
因为
，所以
，故
，
即：所求二面角的大小为
．
（3）因为，所以
．
．
所求几何体体积为
．
解法二：
（1）如图，以
为原点建立空间直角坐标系，
则
，
，
，因为是的中点，所以
，
．
易知，
是平面的一个法向量．
因为
，平面，所以平面．
（2）
，
，
设
是平面的一个法向量，则
则
，
得：
取
，
．
显然，
为平面
的一个法向量．
则
，结合图形可知所求二面角为锐角．
所以二面角的大小是．