全国高中数学联赛模拟试题(八)
（选题人：李潜）
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、设logab是一个整数，且
，给出下列四个结论
①
； ②logab+logba=0；
③0＜a＜b＜1； ④ab-1=0．
其中正确结论的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2、若△ABC的三边长a、b、c满足
，则它的最大内角度数是
（A）150° （B）120° （C）90° （D）60°
3、定长为l（
）的线段AB的两端点都在双曲线
（a＞0，b＞0），则AB中点M的横坐标的最小值为
（A）
（B）
（C）
（D）
4、在复平面上，曲线z4+z=1与圆z=1的交点个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
5、设E={(x,y)0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)x≤10,y≥2,y≤x-4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G=
所组成的图形面积是
（A）6 （B）2 （C）6.5 （D）7
6、正方形纸片ABCD，沿对角线AC对折，使D在面ABC外，这时DB与面ABC所成的角一定不等于
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°
二、填空题：（每小题9分，共54分）
1、已知
，则
的值等于
．
2、
=
．
3、在Rt△ABC中，AB＝AC，以C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB内，且椭圆过A、B点，则这个椭圆的离心率等于 ．
4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有 种不同的选法．
5、设a、b均为正数，且存在复数z满足
，则ab的最大值等于
．
6、使不等式
对惟一的一个整数k成立的最大正整数n为 ．
三、（20分）
已知实数x、y满足x2+y2≤5．求f(x,y)=3x+y+4y+9+7y-3x-18的最大值与最小值．
四、（20分）
经过点M(2,-1)作抛物线y2=x的四条弦PiQi(i=1,2,3,4)，且P1、P2、P3、P4四点的纵坐标依次成等差数列．
求证：
．
五、（20分）
n为正整数，r＞0为实数．证明：方程xn+1+rxn-rn+1=0没有模为r的复数根．
第二试
一、（50分）
设C(I)是以△ABC的内心I为圆心的一个圆，点D、E、F分别是从I出发垂直于边BC、CA和AB的直线C(I)的交点．
求证：AD、BE和CF三线共点．
二、（50分）
非负实数x、y、z满足x2+y2+z2=1．
求证：1≤
≤
．
三、（50分）
对由n个A，n个B和n个C排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n=2的一个例子．
A C B C B A
B A A A C
C A A B
B A C
C B
A
求所有的正整数n，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同．
参考答案
第一试
一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 答案 | A | B | D | A | D | D |
二、填空题：
1、
； 2、
；
3、
； 4、816；
5、
； 6、112．
三、最大值
，最小值
．
四、证略．
五、证略．
第二试
一、证略；
二、证略．
三、 n=1．