09届高三数学摸底考试题

09届高三数学摸底考试题

出题人：吴志刚　　2008.8.5

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合，则满足条件的集合P的个数是（　　）

A．1个　　　　　  B．2个　　　　　 C．4个　　　　　 D．8个

2．如果复数（其中为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　　）

A．　　　　　  B．　　　　　  C．　　　　　 D．2

3．已知O为直角坐标系原点，P、Q的坐标满足不等式组，则的最小值为（　）

A、　　　　　　　　　　　 B、　　　　　　　　　　C、　　　　　　　　　　　 D、0

4. 在锐角△ABC中，A>B，则下列四个不等式中

①sinA>sinB　　　②cosA<cosB　　　③sin2A>sin2B　　　④cos2A<cos2B

正确的有（　　）

A．①③　　　　  B．②③　　　　  C．①②③　　　　  D．①②④

5.已知函数在处的导数为1，则等于（　）

A．　　　　　　  B．1　　　　　　 C．2　　　　　　 D．

6. 若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数： ，则（　）

A　 为“同形”函数

B　 为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数

C　 为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数

D　 为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数

7. 在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M 为BB₁的中点，则点D到直线A₁M的距离为　 （　 ）

　A．　　　 B．　　　　C．　　　　D．

8. 已知，则S的最小值是（　）

A．0　　　　　　  B．2　　　　　　  C．4　　　　　　  D．

9. 现有五种不同的作物种选种在如图四块不同的试验田里，每块种植一种作物，且同一种作物不相邻，则不同的种植方法有　　 (　　)

A．120　　 B．200　 　C．220　 D．260

10．椭圆与直线交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为的值为 　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　 D．

11．一次研究性课堂上，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：

　　甲：函数f (x)的值域为（－1，1）；

　　乙：若x₁≠x₂，则一定有f (x₁)≠f (x₂)；

　　丙：若规定对任意恒成立.

　　你认为上述三个命题中正确的个数有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．0个　　　　　　　　　　B．1个　　　　　　　　　　C．2个　　　　　　　　　　D．3个

12.已知，过任作一条直线交抛物线于P、Q两点，若为定值，则(　　 )

　A．　　　 B．　　　　C．　　　　D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）

13．已知双曲线的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，

　　△OAF的面积为(O为坐标原点)，则双曲线的两条渐近线的夹角为　　　 .

14．若函数上增函数，则实数a的取值范围是　　　 .

15．设A=，B=，记A☉B=max，若A=，B=，且A☉B=，则的取值范围为　　　　 。

16．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x)的图象恰好通过k个格点，则称函数f (x)为k阶格点函数.下列函数：①；②；③；④其中是一阶格点函数的有　　　　  .（填上所有满足题意的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）已知向量.

　（1）当，求的最大值

　（2）设函数，将函数的图象按向量平移后得到函数

　　　 的图象，且求的最小值。

18.(12分)先生的鱼缸中有7条鱼,其中6条青鱼和1条黑鱼,计划从当天开始,每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼(每条鱼被抓到的概率相同)并吃掉.若黑鱼未被抓出,则它每晚要吃掉1条青鱼(规定青鱼不吃鱼).(1)求这7条鱼中至少有5条被先生吃掉的概率.(2)以表示这7条鱼中被先生吃掉的鱼的条数,求.

19.(12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PC与平面ABCD成45°角，E、F分别为PA、PB的中点。

(1)求异面直线DE与AF所成角的大小;

(2)设M是PC上的动点，试问当M在何处时，才能使AM⊥平面PBD，证明你的结论

20．（12分）已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）是否存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由；

22．已知数列的前n项和为，满足 (n∈N)

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足,为数列的前n项和，求证.

（3）数列中是否存在三项成等差数列？或存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.

参 考 答 案

一、选择题

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	C	A	B	D	A	B	C	B	B	A	D	D

二、填空题：

13.  60°　 14. 　 15.　[1，1+]　　　16. ①②④

三、解答题：

17. 解：（1）　…………3分

　  的最大值为……6分

（2）………8分  …10分

时得 …………１２分

18. 解.(1)先生能吃到的鱼的条数可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天先生吃掉黑鱼,其概率为

　　　　　　

故先生至少吃掉5条鱼的概率是.………6分

(2)与(1)相仿地可得,

故,故所求期望值为5. ………12分

19. 解：（1）如图，∵PA⊥平面ABCD　

∴∠PCA为PC与平面ABCD所成角　

∴∠PCA=45°　∴PA=AC=2

取DC的中点G，连EF、FG　∵E、F分别

为PA、PB的中点　

∴四边形DEFG为平行四边形　　

∴DE∥FG　　∴∠AFG为异面直线DE与AF

所成角或其补角, 连AG,　则FG=DE=,　

AF=PB=, AG=　∴cos∠AFG== 　∴∠AFG=arccos 即异面直线DE与AF所成角等于arccos…………6分

（2）过A作AH⊥PD于H，过H作HM交PC于M，则M点为所求

∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥AM　 ∵CD⊥PD　∴PD⊥HM　 ∵PD⊥AH　

∴PD⊥平面AHM　∴PD⊥AM ∴AM⊥平面PBD　 又∵PH= = = ∴DH= ∴= =2　即PM=2MC时，AM⊥平面PBD…………12分

20．解：（Ⅰ） ，依题意，得，即，.

  　 ∵　， ∴ .　　…………　4分　　　　　

　 （Ⅱ）令，得.　 

　　　  当时，；

　　　  当时，；

　　　  当时，.…………8分

　　 又，，，.

　　 因此，当时，.　

 要使得不等式对于恒成立，则.

　　 所以，存在最小的正整数，使得不等式对于

　　 恒成立.　…………12分

22．解：（1）当n∈N时，,　 ①

　　 则当，n∈N时，S=2a-2(n-1).②　，

 ①-②，得a=2a-2a-2

　　　 即a=2a+2，　∴a+2=2（a+2），∴=2

　　　 当n=1时，S=2a-2,则a=2，

　　　 ∴{ a+2}是以a+2为首项，以2为公比的等比数列　 ∴a+2=4·2，

　　　　　　　　 ∴……………………5分

　　（Ⅱ）b=log( a+2)= log2=n+1,　　　 =,

　　　则T=++…+，③　　　　T=+…++④

③-④，得　 T=＋++…+-

　　　 =+ =　 +--　=　 -，

　　　　 ∴T=-.

　　　　 当n≥2时，T-T=-＞0，

 ∴{T}为递增数列，∴T≥T=………………10分

　  （3）若a,a,a(r＜s＜t)构成等差数列且a＜a＜a,

　　　　 则只能是a+a=2a,∴(2

　　　　 ∴1+2　　 *

　　　　 ∵r＜s＜t,r、s、t均为正整数，

　　　　 ∴（*）式左边为奇数，右边为偶数，不能成立，因此数列{a}中不存在可以构成等差数列的三项……………………14分