高三数学考前训练30题

高三数学考前训练30题

1． 若曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为　　　　  ．

【解析】设，由，得，从而．

点P的坐标为（1，0）．

2． 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，且，则角B的大小是 　　　　　　　　　 ．

【解析】由余弦定理，得 ．则

，即．

所以B的大小是或．

3．已知单位正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁对棱BB₁，DD₁上有两个动点E、F，BE＝D₁F，设EF与面AB₁所成角为α，与面BC₁所成角为β，则α＋β的最大值为　　 　　　　 ．

【解析】由对称性可知α＝β，又，所以α≤45°，α＋β≤90°．

4． 设函数，集合M＝，P＝，若MP，则实数a的取值范围是　　　　　　　　  ．

【解析】设函数， 集合．

若a>1时，M＝{x 1<x<a}；

若a<1时，M＝{x a<x<1}；

a＝1时，M＝．

，∴＝>0．

∴ a>1时，P＝R，a<1时，P＝；已知，所以 （1，＋∞）．

5． 已知命题P：．，不等式 的解集为．如果和有且仅有一个正确，则的取值范围是　　　　　　　　 ．

【解析】若和都正确，则由，有．由，有的解集为．

用函数认识不等式，只需的最小值2此时．

若和都不正确，则由，有．由，有其交集为空集，此时不存在．

由题设知，，用补集思想，所求的取值范围为．

6． 己知：函数满足，又．则函数的解析式为　　　　　　　　 ．

【解析】由已知，当时，原方程化为．

由等式右边存在极限，处处可导．

对原方程两边令，得．

令，（为常数）．

又，得．

7． 用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，

则它的体积的最大值与最小值之差为　　　　　　　．

【解析】6．体积的最大值为16，体积最小值为10．

8． 已知，，对任意，经过两点的直线与一定圆相切，则圆方程为　　　　　　　　　．

【解析】经过两点的直线方程为．

，．

9． 打开“几何画板”软件进行如下操作：

①用画图工具在工作区画一个大小适中的圆C；

②用取点工具分别在圆C上和圆C外各取一个点A、B；

③用构造菜单下对应命令作出线段AB的垂直平分线l；

④作出直线AC．

设直线AC与直线l相交于点P，当点A在圆C上运动时，点P的轨迹是____________．

【解析】双曲线．由图可得，PC—PB＝PC—PA＝AC，或PB—PC＝PA—PC＝AC，

从而点P到定点B、C的距离之差的绝对值是定长AC，由双曲线定义即可得．

10．复数，满足，则与的大小关系是_________．

　　　【解析】因为，所以，．

　　　　　　  因为，所以，所以．

11． 已知的外接圆的圆心，，则的大小关系为______．

　　【解析】设的外接圆的半径为，，，

　　　　　  ．，．

　　　　　  ，．

　　　　　 

12． 已知，则的值______

　 【解析】 ∵，∴，∴，．

∴＝

＝．

13． 当x＝2时，下面这段程序输出的结果是___________．

End　Whlie

 

答案：13．

14． 极坐标系中，直线与曲线相交所得弦长为　　　　  ．

【解析】直线，为过点且倾斜角为的直线，而曲线表示的是一个椭圆；建立一个以椭圆的中心为原点的直角坐标系，则椭圆的标准方程为，直线的参数方程为，代入标准方程，得，弦长为．

15． 已知实数满足，，则的取值范围是　　　．

【解析】由柯西不等式，得，

即．由条件，得．

解得，当且仅当 时等号成立．

代入时，；时，．

所以，的取值范围是．

16． f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf^‘（x）－f（x）>0,对任意正数a、b，若a＜b，则的大小关系为　　　　  ．

【解析】设，则，故为增函数，由a＜b，

有．

二、解答题

17． 在数列{a_n}中，已知，a₁＝2，a_n＋1＋ a_n＋1 a_n－2 a_n．对于任意正整数，

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n的表达式；

（Ⅱ）若 （为常数，且为整数），求的最小值．

解：（Ⅰ）由题意，对于n∈N^*，，且，即．

由 ，得 ．则数列是首项为，公比为的等比数列．于是， 即 ．　　　　　　　　 

（Ⅱ）由（Ⅰ），得． 当时，因为

，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以

．

又

，故M的最小值为3．

18． 设顶点为的抛物线交轴正半轴于、两点，交轴正半轴于 点，圆（圆心为）过、、三点，恰好与轴相切． 求证：．

解：设、、三点的坐标为，，，圆的圆心坐标为，

由韦达定理，知． 原点到圆D的切线为，所以

，即． 故．

点坐标为 ． 由（1），．

设交轴于，要证与圆相切，即证 ．

　　　　如果，那么与相似，．

所以只需证 ．而 ，，

　　　　所以 等价于 ，即只需要证．

　　由，，所以与圆相切．

19． 已知函数的图象x轴的交点至少有一个在原点右侧．

　 （1）求实数m的取值范围；

　 （2）令t＝－m＋2，求的值（其中[t]表示不大于t的最大整数）；

　 （3）对（2）中的t，求函数的值域．

【解析】若m＝0　则符合题意．

若m≠0 ，①m<0时，∵两根异号，∴必有一个负根．

②m>0时，由时，方程有两正根．综上得．

（2）∵t＝－m＋2 ，∴．当t＝1时，，当t>1时，．

（3）当t＝1时，；当t>1时，＝0，设[t]＝n，且t＝[t]＋a，则．

于是．由函数时是增函数，

及．

设递减，∴．

∴．

递减，∴．

于是t>1时，的值域为．

综上的值域为．

20． 已知定理：“若为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”．设函数，定义域为A．

（1）试证明的图象关于点成中心对称；

（2）当时，求证：；

（3）对于给定的，设计构造过程：，…，．如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．　　　　

【解析】（1）∵，∴．

由已知定理，得的图象关于点成中心对称．

（2）先证明在上是增函数，只要证明在上是增函数．

设，则，

∴在上是增函数．

再由在上是增函数，得

当时，，即．

（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴对任意恒成立．

∴方程无解，即方程无解或有唯一解．

∴或由此得到．

21． 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）＝的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为．

（1）求证：M点的纵坐标为定值；　

（2）若S_n＝f（∈N^*，且n≥2，求S_n．

（3）已知a_n＝其中n∈N^*．

　　 T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜λ（S_n＋1＋1）对一切n∈N^*都成立，试求λ的取值范围．

【解析】（1）证明：∵ ∴M是AB的中点．设M点的坐标为（x，y），

　　　　由（x₁＋x₂）＝x＝，得x₁＋x₂＝1，则x₁＝1－x₂或x₂＝1－x₁．

　　　　而y＝（y₁＋y₂）＝ ［f（x₁）＋f（x₂）］ ＝（＋log₂

 ＝（1＋log₂　＝（1＋log₂

  ＝（1＋log₂∴M点的纵坐标为定值．

（2）由（1），知x₁＋x₂＝1，f（x₁）＋f（x₂）＝y₁＋y₂＝1，

　　　 S_n＝f（S_n＝f（，

　　　 两式相加，得

2S_n＝［f（）＋［f（）＋…＋［f（）

　　　　  ＝ ，∴S_n＝（n≥2，n∈N^*）．

（3）当n≥2时，a_n＝

　　　 T_n＝a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n＝［（]

　　　　 ＝（

　　　 由T_n＜λ（S_n＋1＋1），得＜λ·∴λ＞

　　　 ∵n＋≥4，当且仅当n＝2时等号成立，∴

因此λ＞，即λ的取值范围是（＋∞）．

22． 有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6张卡片，其中一张标有数字0，2张标有数字1，3张标有数字2；黑色盒中有7张卡片，其中4张标有数字0，1张标有数字1，2张标有数字2．现从红色盒中任意取1张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任取2张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），共取3张卡片．

（Ⅰ）求取出的3张卡片都标有数字0的概率；

（Ⅱ）求取出的3张卡片数字之积是4的概率；

（Ⅲ）求取出的3张卡片数字之积是0的概率．

【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

答：（略）．

23． 设函数的定义域为R，当x＜0时＞1，且对任意的实数x，y∈R，有．

（Ⅰ）求，判断并证明函数的单调性；

（Ⅱ）数列满足，且．

①求通项公式．

②当时，不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

【解析】（Ⅰ）时，f（x）＞1．

令x＝－1，y＝0，则f（－1）＝f（－1）f（0）．∵f（－1）＞1 ，∴f（0）＝1．

若x＞0，则f（x－x）＝f（0）＝f（x）f（－x）．

故，故x∈R， f（x）＞0．

任取x₁＜x₂，，

，故f（x）在R上减函数．

（Ⅱ）①．由f（x）单调性，a_n＋1＝a_n＋2 ，

故{a_n}等差数列，．

②．

∴是递增数列．

当n≥2时，，

 ，

即．

而a＞1，∴x＞1，故x的取值范围（1，＋∞）．

24． 已知数列满足  ，令 ，求证

（1）数列是等比数列；

 （2）．

解析：（1）．

　　　　∴＝，

　　　　∵，∴ ．

　　　　∴数列 是等比数列．

（2）∵ 数列 是等比数列，∴．

　　　　∵ ，∴，∴．

∵ ＝

　　　　 ＝，

∴ ．

25． 已知圆O的方程为过直线上的任意一点P作圆O的切线PA、PB．四边形OABP的面积取得最小时的点P的坐标（m，n）设．

（1）求证：当恒成立；

（2）讨论关于的方程： 根的个数．

解析：（1）＝．

　　　当取得最小值时取得最小，过点O 作垂直于直线，交点为，

　　　易得，∴．∴．

　　　∴，∴在是单调增函数，

　　  ∴对于恒成立．

（2）方程，∴．

　 ∵ ，∴ 方程为．令，

　　　 　　 ，当上为增函数；

　　　 　　 上为减函数，

　　　　 　　当时，

，

　　　 　　∴、在同一坐标系的大致图象如图所示，

　　　 　　∴①当时，方程无解．

　　　　  ②当时，方程有一个根．

③当时，方程有两个根．

26． 解不等式．

解：（Ⅰ）当x<－2时，得－（2x－1）－（x＋2）<4，得，此不等式无解．

（Ⅱ）当－2x<，得－（2x－1）＋（x＋2）<4，得x>－1，．

（Ⅲ）当x时，得（2x－1）＋（x＋2）<4，得．

综上，原不等式的解集为（－1，1）．

27． 已知函数在点P处的切线方程为，又．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调区间和极值；

（3）若函数在区间上的值域为，求应满足的条件．

解：（1）由题设，知，，，

解得，所以．

（2）由，得．由，得．

的单调增区间是，单调减区间为．

当时，取得极大值0，当时，取得极小值．

（3）由（2）知，在上是增函数，在上是减函数．因为，

所以，所以．

此时，由，得．

所以．

综上，．

28． 结论：圆C：与x轴相交于M、N两点，设点P是圆C上任一点，则直线PM、PN斜率的乘积是定值．

（1）写出以上结论在椭圆中的推广，并加以证明；

（2）将（1）的结论类比到双曲线，并加以证明．

解：（1）设椭圆与x轴交于M、N两点，设点P是椭圆上任一点，则直线PM、PN斜率的乘积是定值．

证明：由题意，设，

则，所以，所以．

是定值．

（2）设双曲线与x轴交于M、N两点，设点P是双曲线上任一点，则直线PM、PN斜率的乘积是定值．

证明：由题意，设，

则，所以，所以．

是定值．

29． 已知函数的定义域为R，对任意实数满足，且．

（1）求；

（2）试用表示；

（3）用，的表达式来表示．

答案：（1）利用赋值法易得．

（2）令，由条件，得，所以．

（3）设，由条件，得，

所以．

30． 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金

解：设保险公司要求赔偿顾客交x元保险金，若以表示公司每年的收益额，则的分布列为

		－a
p	1－p	p

公司每年收益的期望值为：E＝x（1－p）＋（x－p）p＝x－ap，

要使公司收益的期望值等于a的10%，只需E＝0.1a，即x－ap＝0.1a，x＝（0.1＋p）a，

应交的保险金为（0.1＋p）a．