高三文科数学第一学期期中考试卷3

高三文科数学第一学期期中考试卷（）(3)

一、填空题：（5×14=70）

1．已知全集U=R，集合　　　　

2. 等差数列中，　，那么的值是　　　　 　

3．直线与直线垂直的充要条件是　　　

4． 复数的值为　　　　 　　　　　　　　　  

5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是　　　　　

　①　②  　③ 　 ④

6．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线相切的直线方程是 　　　　　　　　　　．

7．函数的定义域和值域分别是　　　　　 和　　　　　

8.在中，，则　　　　　 

9.圆截直线x-y-5＝0所得弦长等于　　　　  

10. P是椭圆上的动点, 作PD⊥y轴, D为垂足, 则PD中点的轨迹方程为　　　　.

11.已知双曲线－＝1的一条准线与抛物线y＝4x的准线重合,则双曲线的离心率为　　　　

12．若是正常数，，，则，当且仅当时上式取等号. 利用以上结论，可以得到函数（）的最小值为　　 ，取最小值时的值为　　　 ．

13．一水池有两个进水口，一个出水口，每水口的进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．（至少打开一个水口）

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定能确定正确的诊断是　　　 ．

 14. 如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒末，它从原点运动到（0，1），接着它按如图所示的x轴、y轴的平行方向来回运动，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…），且每秒移动一个单位，那么第2008秒末这个粒子所处的位置的坐标为______。

二、解答题：

15．（本小题满分14分）

求满足下列条件曲线的标准方程:

(1)长轴是短轴的3倍且经过点B(0,1)的椭圆方程；

(2)顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程。

16．（本小题满分14分）

已知向量＝(cosx，sinx)，＝()，且x∈[0，]．

（1）求；

（2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。

17．（本小题满分14分）

某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

18．（本小题满分16分）

设函数（），已知数列是公差为2的等差数列，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）当时，求证：.

19．（本小题满分16分）

（普通班做）已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件，该动点的轨迹为F，

(1)求F的方程。

(2)若A、B是F上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值。

（免试班做）已知圆O：，圆C：，由两圆外一点引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足PA=PB.

 （Ⅰ）求实数a、b间满足的等量关系；

 （Ⅱ）求切线长PA的最小值；

 （Ⅲ）是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切

并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；

若不存在，说明理由.

20．（本小题满分16分）

（普通班做）

定义在D上的函数，如果满足：，常数，都有≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.

（Ⅰ）试判断函数在[1，3]上是不是有界函数？请给出证明；

（Ⅱ）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

（免试班做）

　 对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点.

 （1）当时，求的不动点；

 （2）若对于任何实数，函数恒有两相异的不动点，求实数的取值范围；

 （3）在（2）的条件下，若的图象上、两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的最小值.

第一学期期中测试数学（文）试卷答案

一、填空题：

1．{xx≤2}  2. 24 3． 4． 5．③　6．16x-8y+25=0

7．，  8. 1 9. 　10.  11. 12．25，　

13．① 14. （16,44）

二、解答题：

15．（1），；（2）

16．解：（I）由已知条件： ， 得：

　　　

　（2）

　　　　　　

因为：，所以：所以，只有当：时，

　　　　　　　  ，

17．解：设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，则.

∴蔬菜的种植面积，

 ∵，

∴，　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 

 ∴（m²），　　　　　　　　　　　　　 　　

当且仅当，即时， m².　　　 

答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m².　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　

18．（Ⅰ）

　　 

（Ⅱ）当时， ，

 

19．（普通班做）（1）F的方程为　

 （2）　　 

　

（免试班做）

（Ⅰ）连结PO、PC，∵PA=PB，OA=CB=1，

　　 ∴PO²=PC²，从而

　 化简得实数a、b间满足的等量关系为：

.　　　

　（Ⅱ）由，得

　　

　　　　

　　 ∴当时，（Ⅱ）∵圆O和圆C的半径均为1，若存在半径为R圆P，与圆O相内切

并且与圆C相外切，则有

　　　 　且　

　　于是有：　即　

　　从而得

　 两边平方，整理得　

　 将代入上式得：

　　　 故满足条件的实数a、b不存在，∴不存在符合题设条件的圆P.

20．（普通班做）（Ⅰ）∵，当时，.

　   ∴在[1，3]上是增函数.

　   ∴当时，≤≤，即 -2≤≤26.

　　　∴存在常数M=26，使得，都有≤M成立.

　　　 故函数是[1，3]上的有界函数.

（Ⅱ）∵. 由≤1，得≤1

　 ∴　　

令，显然在上单调递减，

则当t→+∞时，→1.　∴

令，显然在上单调递减，

则当时，　 ∴

　　　∴0≤a≤1；　　　　　　　　　　　　　　　

故所求a的取值范围为0≤a≤1.

（免试班做）

　 解

（1）当时，　 　

　　设为其不动点，即

则　　的不动点是－1，2

（2）由得：.　由已知，此方程有相异二实根，

恒成立，即即对任意恒成立.

（3）设，

直线是线段AB的垂直平分线，　 ∴

记AB的中点由（2）知　　

化简得：　时，等号成立）.