平面向量的基本定理及坐标表示一课一练1

2.3　平面向量的基本定理及坐标表示

一、选择题

1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1），B（－1,3），若点C满足，其中α、β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为　　　（　 ）

A、3ｘ＋2ｙ－11＝0　　　　　　　 B、（x-1）²+（y-2）²=5

C、2ｘ－ｙ＝0　　　　　　　　　　D、ｘ＋2ｙ－5＝0

2、若向量＝（x+3，x²－3x－4）与相等，已知A（1，2）和B（3，2），则x的值为

A、－1　　　　　　　　　　　　　B、－1或4　　　　　　　　　C、4　　　　　　　　　　　　　　　　　 D、1或－4

3、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个顶点的坐标是（　　）

A、（1，5）或（5，5）　　　　　　B、（1，5）或（－3，－5）

C、（5，－5）或（－3，－5）　　　D、（1，5）或（5，－5）或（－3，－5）

4、设i、j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且， ，则△OAB的面积等于（　　）

A、15　　　 B、10　　 C、7.5　　D、5

5、己知P₁(2,－1) 、P₂(0,5) 且点P在P₁P₂的延长线上,, 则P点坐标为(　　)

A、(－2,11)　　　 B、(　　　　　　　C、(,3)　　　　　　　D、(2,－7)

6、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（5，7），（－3，5），（3，4），则第四个顶点的坐标不可能是。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　（　　）

A、（－1，8）　　B，（－5，2）　　C、（1l，6）　 D、（5，2）

7、已知O为原点，A，B点的坐标分别为（a，0），（0，a），其中常数a＞0，点P在线段AB上,且＝t（0≤t≤1），则·的最大值为　　　　　　　  （　　）

A、a　　　 B、2a　　 C、3a　　 D、a²

8、已知=(2,3) ,  =(,7) ,则在上的投影值为（　　　）

A、　　　　　  B、　　　　  C、　　　　　　　D、

二、填空题

9、已知点A（－1，5），若向量与向量＝（2，3）同向，且＝3，则点B的坐标为

10、平面上三个点，分别为A（2，－5），B（3，4），C（－1，－3），D为线段BC的中点，则向量的坐标为

三、解答题

11、已知O是坐标原点，点A在第一象限，，，求向量的坐标、

12、已知点A（－1，2），B（2，8）及，，求点C、D和的坐标。

13、已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（－2，1），一组对边AB、CD的中点分别为M（3，0）、N（－1，－2），求平行四边形的各个顶点坐标。

14、已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t，

求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限?

（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。

15、已知向量=（x，y）与向量=（y，2y－x）的对应关系可用=f（）表示。

（1）证明：对于任意向量、及常数m、n，恒有f（m+n）=mf（）+nf（）成立；

（2）设=（1，1），=（1，0），求向量f（）及f（）的坐标；

（3）求使f（）=（3，5）成立的向量。

参考答案

一、选择题

1、D；2、A；3、D；4、D；5、A；6、D；7、D；8、C

二、填空题

9、B（5，14）

10、＝

三、解答题

11、解：设点A（ｘ，ｙ），则ｘ＝｜｜＝＝，

ｙ＝｜｜＝＝6，

即A（，6），所以＝（，6）、

12、解：设C（ｘ₁，ｙ₁），D（ｘ₂，ｙ₂），由题意可得＝（ｘ₁＋1，ｙ₁－2），，＝（－1－ｘ₂，2－ｙ₂），＝（－3，－6）

∵，，∴（ｘ₁＋1，ｙ₁－2）＝（3，6）＝（1，2）

（－1－ｘ₂，2－ｙ₂）＝－（－3，－6）＝（1，2），则有

和，解得和、

∴C、D的坐标分别为（0，4）和（－2，0）、因此＝（－2，－4）、

13、解：设其余三个顶点的坐标为B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），D（x₃，y₃）、

因为M是AB的中点，所以3=，0=，

解得x₁=8，y₁=－1、

设MN的中点（x₀，y₀），则x₀==1，y₀==－1，而既是AC的中点，又是BD的中点，

所以x₀=，y₀=，

即1=，－1=、

解得x₂=4，y₂=－3、

同理解得x₃=－6，y₃=－1、

所以B（8，－1），C（4，－3），D（－6，－1）、

14、解：（1）=+t=（1+3t，2+3t）、

若P在x轴上，只需2+3t=0，所以t=－、

若P在y轴上，只需1+3t=0，所以t=－、

若P在第二象限，只需

∴－＜t＜－、

（2）因为=（1，2），=（3－3t，3－3t），若OABP为平行四边形，则=、

由于，无解，故四边形OABP不能构成平行四边形、

15、（1）证明：设向量=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），

则f（mx₁+nx₂，my₁+ny₂）=（my₁+ny₂，2my₁+2ny₂－mx₁－nx₂）、

又mf（）=（my₁，2my₁－mx₁），nf（）=（ny₂，2ny₂－nx₂），

所以mf（）+nf（）=（my₁+ny₂，2my₁+2ny₂－mx₁－nx₂）、

所以f（m+n）=mf（）+nf（）、

（2）f（）=（1，1），f（）=（0，－1）、

（3）由得所以=（1，3）、