分类讨论求极限
例 已知数列
、
都是由正数组成的等比数列，公比分别为
，其中
，且
，
，设
，
为数列
的前
项和，求
.
（1997年全国高考试题，理科难度0.33）
解： 
.
分两种情况讨论；
（1）当
时，∵ 
，故
，
∴
（2）当
时，∵ 
，
∴
.
说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法．
自变量趋向无穷时函数的极限
例 求下列极限：
（1）
（2）
分析：第（1）题中，当
时，分子、分母都趋于无穷大，属于“
”型，变形的一般方法是分子、分母同除以x的最高次幂，再应用极限的运算法则．
第（2）题中，当时，分式
与
都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”型，变形的一般方法是先通分，变成“”型或“
”型，再求极限．
解：（1）
（2）
说明：“”型的式子求极限类似于数列极限的求法．
无穷减无穷型极限求解
例 求极限：
（1）
（2）
分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限．
解：（1）原式
（2）原式
说明：当
时，
，因此
．
利用运算法则求极限
例 计算下列极限：
（1）
；
（2）
.
（1992年全国高考试题，文科难度0.63）
解： （1）原式
.
（2）原式
.
说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的：
（1）原式
（2）原式
用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限
例 设
，求
．
分析：把
用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．
解：
或：逆用等比数列求和公式：
原式
说明：要注意p是与n无关的正整数，不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等．
零乘无穷型转化为无穷除无穷型
例 求
分析：当
时，所求极限相当于
型，需要设法化为我们熟悉的型．
解：
说明：对于这种含有根号的型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现．如本题是通过分子有理化，从而化为
，即为型，也可以将分子、分母同除以n的最高次幂即
，完成极限的计算．
根据极限确定字母的范围
例
已知
，求实数m的取值范围．
分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决．
解：
于是
，即
．
说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由
可知，
的极限必为0，而
的充要条件是
，于是解不等式．
零比零型的极限
例 求
．
分析：这是一个型的极限，显然当
时，直接从函数
分子、分母中约去x有困难，但是
当时也趋近于0，此时x化为
，这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设
，则
．
解：设，则，于是，当时，
．
原式
说明：本题采用的换元法是把化为
，这是一种变量代换．灵活地运用这种代换，可以解决一些型的极限问题．
例如对于
，我们一般采用因式分解，然后约去
，得到
．其实也可以采用这种代换，即设
，则当
时，
，这样就有
组合与极限的综合题
例 
A．0 B．2 C．
D．
分析：将组合项展开后化简再求极限．
解： 
故应选D．
说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念．
高考填空题
1．计算
2．若数列的通项公式是
，则
3．计算：
1．解析 
说明：利用数列极限公式
，把原题的代数式稍加变形即可获解．本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力．
2．解析 
说明：本题的思考障碍点是如何求
？——只要懂得在通项公式中令
，可立得的具体值，本题考查数列极限的基本知识．
3．解析 
说明：本题考查数列极限公式的应用．
根据已知极限和四则运算求其它极限
例 若
，且
存在，则
A．0 B． C．
D．不存在
分析：根据题设知
和
均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论．
解：
又
∴
即
选C．
说明：是关键，不能错误地认为
，
．
两个数列、的极限存在是两个数列的和．差、积存在极限的充分条件．但
的极限不一定存在．
化简表达式再求数列的极限
例 求下列极限
（1）
（2）
（3）
分析：先运用等差数列、等比数列的前n项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再进行极限的四则运算．
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为
而得到（1）的结果是0．
无穷比无穷和字母讨论的数列极限
例 求下列极限：
（1）
（2）
分析：第（1）题属“”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子．第（2）题中当a的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分各种情形进行讨论．
解：（1）原式
（2）当
时，
，
当
时，
说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为．
根据极限确定等比数列首项的取值范围
例 已知等比数列的首项为，公比为q，且有
，求的取值范围．
分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知
存在，因此可得q的取值范围，从而确定出的取值范围．
解：由，得存在．
∴且
或
．．
当时，有
，
∴
，
∴
解得
，
又，因此
．
当时，这时有
， ∴
．
综上可得：，且或．
说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出发来考虑q的特点，容易将这一条件忽视，从而导致错误．
求函数在某一点处的极限
例 求下列极限：
（1）
（2）
（3）
（4）
分析：第（1）题中，
在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限；（2）、（3）两个极限分子、分母都趋近于0，属“”型，必须先对函数变形，然后施行四则运算；（4）为“
”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算．
解：（1）
（2）
（3）
（4）
说明：不能错误地认为，由于
不存在，
也不存在，因此（4）式的极限不存在．（4）属于“”型，一般要先对函数式进行变形，变为“”型或“”型，再求极限．
函数在某一点处零比零型的极限
例 求下列极限：
（1）
（2）
分析：第（1）题中，当时，分子、分母的极限都是0，不能用商的极限的运算法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限，常用的变换方法有：
①对多项式进行因式分解；②对无理式分子或分母有理化；③对三角函数式（如第（2）题，先进行三角恒等变换，再约分．
解：
（1）原式
（2）原式
说明：如果分子、分母同乘以
，对（1）式进行变形，思维就会受阻，正确的方法是分子、分母同乘以分子、分母的有理化因式，分母的有理化因式是
．