利用导数求函数的单调性
例 讨论下列函数的单调性：
1．
（
且
）；
2．
（且）；
3．
．
分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数
，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内的符号，来确定函数
在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．
解： 1．函数定义域为R．
当
时，
∴函数在
上是增函数．
当
时，
∴函数在上是减函数．
2．函数的定义域是
或
①若，则当时，
，
∴
，∴函数在
上是增函数；
当
时，
，∴函数在
上是减函数
②若，则当时，，
∴函数在上是减函数；
当时，
，∴函数在上是增函数
3．函数是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性
当
时，
若
，则，函数在（0，1）上是减函数；
若
，则，函数在（0，1）上是增函数．
又函数是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当时，函数在（－1，1）上是减函数，当时，函数在（－1，1）上是增函数．
说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定的符号，否则会产生错误判断．
分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力．
利用导数求函数的单调区间
例 求下列函数的单调区间：
1．
；
2．
；
3．
分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．
解：1．函数的定义域为R，
令，得
或
．
∴函数的单调递增区间为（－1，0）和
；
令，得
或，
∴函数的单调递减区间为
和（0，1）．
2．函数定义域为
令，得．
∴函数的递增区间为（0，1）；
令，得
，
∴函数的单调递减区间为（1，2）．
3．函数定义域为
令，得
或
．
∴函数的单调递增区间为
和
；
令，得
且
，
∴函数的单调递减区间是
和
．
说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数的单调递增区间和递减区间分别写成
和
的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．
求解析式并根据单调性确定参数
例 已知
，且
1．设
，求
的解析式；
2．设
，试问：是否存在实数
，使
在
内为减函数，且在（－1，0）内是增函数．
分析：根据题设条件可以求出的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解．
解：1．由题意得
，
，
∴
∴
2．
．
若满足条件的存在，则
∵函数在内是减函数，∴当时，
，
即
对于
恒成立．
∴
∴
，解得
．
又函数在（－1，0）上是增函数，∴当
时，
即
对于
恒成立，
∴
∴
，解得
．
故当
时，在上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的存在．
说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用
恒成立
和
恒成立
，究其原因是对函数的思想方法理解不深．
利用导数比较大小
例 已知a、b为实数，且
，其中e为自然对数的底，求证：
．
分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明
，可以等价转化为证明
，如果
，则函数
在
上是增函数，如果
，由增函数的定义可知，当
时，有
，即
．
解：证法一：
，∴要证，只要证
，
设
，则
．
，∴
，且
，∴
∴函数
在
上是增函数．
∴
，即
，
∴
证法二：要证，只要证
，
即证
，设
，则
，
∴函数在上是减函数．
又
，即
说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出
的错误结论．
判断函数在给定区间上的单调性
例 函数
在区间
上是（ ）
A．增函数，且
B．减函数，且
C．增函数，且
D．减函数，且
分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此函数的单调性．
解：解法一：令
，且
，
则
，排除A、B．
由复合函数的性质可知，u在 上为减函数．
又
亦为减函数，故在 上为增函数，排除D，选C．
解法二：利用导数法
（
），故y在上是增函数．
由解法一知．所以选C．
说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．