08届高三理科数学第三次阶段考试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．若集合
，
，则
等于（ ）
A．{0} B．
C．S D．T
2．等差数列
的前n项和为
，那么下列S13值的是 （ ）
A．130 B．65 C．70 D．以上都不对
3、下列命题正确的是（ ）
A．函数
在区间
内单调递增
B．函数
的最小正周期为
C．函数
的图像是关于点
成中心对称的图形
D．函数
的图像是关于直线
成轴对称的图形
4、在△ABC中，已知向量
，则△ABC为（ ） （ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
5、α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列条件：①a//α、b
；②a⊥α、b
；③a⊥α、b
；④a//α、b且a与α的距离等于b与β的距离，
其中是a⊥b的充分条件的有 （ ）
A．①④ B．① C．③ D．②③
A、-1
B、1 C、0 D、0或±1
7、A，B，C，D四个城市之间有笔直的公路相连接，客运车行驶于各城市之间，其票价与路程成正比.具体票价如图
则BD之间的票价应为________
A、7元 B、7.5元
C、8元 D、8.5元
8、过抛物线y=
x2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M,N,则直线MN过定点（ ）
A、 （0，1） B、（1，0） C、（0，-1） D、（-1，0）
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
9．若集合
，若
，则实数a的取值范围是 .
10、已知△ABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足
，则点△BCP与△ABP的面积分别为s1,s2,则s1:s2=_________
11、数列满足
，若
，则
的值为____
12、球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的直径为
13（选做题）、在直角坐标系中将曲线C1：xy=
绕原点按逆时针方向旋转30°后得到曲线C2，则曲线C2截y轴所得的弦长为_______________________.
14（选做题）、已知不等式2x-4+3x+3+2x-1+2a-3<0的解集非空，则实数a的取值范围为_____________
15（选做题）、如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于点C，且AD=DC，则sin∠ACO=_________
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17（13分）、已知{an}为等比数列，{bn}为等差数列，其中a2=b4,a3=b2,a4=b1，且a1=64,公比q≠1
（Ⅰ）求an,bn；
（Ⅱ）设cn=log2an，求数列{cnan}的前n项和Tn
|
18（13分）、已知一几何体的三视图如图1，主视图与左视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为6，俯视图为正方形，（1）求点A到面SBC的距离；（2）有一个小正四棱柱内接于这个几何体，棱柱底面在面ABCD内，其余顶点在几何体的棱上，当棱柱的底面边长与高取何值时，棱柱的体积最大，并求出这个最大值。
19、（14分）已知函数f(x)=ax3+x2-x (a∈R且a≠0)
（1）若函数f(x)在（2，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围.
（2）证明：当a>0时，函数在f(x)在区间（
）上不存在零点
20、（14分）设不等式组
所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(n∈N*).
（1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；（可以不作证明）
（2）记
，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值
范围.
（3）(附加题，做对加4分)求证：当n∈N+时，
21、（14分）已知点H（－3，0），点P在
轴上，点Q在
轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足
， 
.
（Ⅰ）当点P在轴上移动时，求点M的轨迹C；
（Ⅱ）过定点
作直线
交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于轴的直线
被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出的方程；若不存在，请说明理由.
答卷
| 题号 | 一 | 二 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
| 分数 |
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
9、_________________________ 10、____________________________
11、_________________________ 12、____________________________
13、(选做题)__________________ 14、(选做题)____________________
15、(选做题)__________________
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤
16、
17、
 |
18、
19、
20、
21、
参考答案
CACD CCBA
9、
10、2:1 11、
12、
13、4
14、a<-1 15、
16、
17、解：（I）依题意
…………2分
…………4分
bn=8+8×(n-1)=8n …………5分
（II）
…………6分
…………12分
18、（1）3
（2）底面边长为2，高为4是，体积最大，最大体积为16
19、
略解、（1）因为f′(x)=3ax2+2x-1，依题意存在（2，+∞）的非空子区间使3ax2+2x-1>0成立，即
在x∈（2，+∞）某子区间上恒成立，令h(x)=
,求得h(x)的最小值为
，故
（2）由已知a>0
令f′(x)=3ax2+2x-1>0
得
故f(x)在区间（）上是减函数，
即f(x)在区间（）上恒大于零。故当a>0时，函数在f(x)在区间（）上不存在零点
20、（1）f(1)=3………………………………………………………………………………（1分）
f(2)=6………………………………………………………………………………（2分）
当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时,y=n，可取格点n个
∴f(n)=3n…………………………………………………………………………（4分）
（2）
………………………………………………（9分）
∴T1<T2=T3>T4>…>Tn
故Tn的最大值是T2=T3=
∴m≥………………………………………………………………（）
21、解：（Ⅰ）设
,
且
, …………………2分
…………………3分
.
………………………………………………4分
∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）.
…………………………………………5分
（Ⅱ）解法一：（1）当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性，有；
……………6分
（2）当直线与轴不垂直时，依题意，可设直线的方程为
，
，则A，B两点的坐标满足方程组
消去并整理，得
,
. ……………7分
设直线AE和BE的斜率分别为
，则:
＝
. …………………9分
,
,
，
.
综合（1）、（2）可知. …………………10分
解法二：依题意，设直线的方程为
，，则A，B两点的坐标满足方程组:
消去并整理，得
,
. ……………7分
设直线AE和BE的斜率分别为，则:
＝
. …………………9分
,
,
，
. ……………………………………………………10分
（Ⅲ）假设存在满足条件的直线
，其方程为
，AD的中点为
，与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则
，点的坐标为
.
,
,
.
…………………………12分
,
令
，得
此时，
.
∴当
，即
时，
（定值）.
∴当时，满足条件的直线存在，其方程为
；当
时，满足条件的直线不存在.