08届高三理科数学调研考试试题
2008.2.19
本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时间120分钟.
注意事项：
1． 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；
2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。答在试题卷上不得分；
3． 考试结束，考生只需将答题案交回。
参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．
如果事件
、
互斥，那么
．
如果事件、相互独立，那么
．
第一部分 选择题(共40分)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数
，则
A． 
B．
C． 
D． 
2. 设全集
且
,
,则
A.
B.
C.
D.
3. 椭圆
的焦点在
轴上，长轴长是短轴长的两倍，则
的值为（ ）
A．
B．
C． 2 D．4
4. 
中，
，
，
，则
A． 
B．
C．
D．或
5. 已知等差数列
的前
项和为
，且
，则过点
和
N*)的直线的斜率是
A．4 B．3 C．2 D．1
6.已知函数
，且
，
的导函数，函数
的图象如图所示. 则平面区域
所围成的面积是
A．2 B．4 C．5 D．8
7. 一台机床有
的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A时,停机的概率是
,
加工B时,停机的概率是
, 则这台机床停机的概率为( )
A.
B. 
C. 
D. 
8.
在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数
的图象恰好通过
个整点，则称函数为
阶整点函数。有下列函数：
① 
； ②
③
④
，
其中是一阶整点函数的是( )
A.①②③④ B.①③④ C.①④ D.④
第二部分 非选择题(共110分)
二.填空题(每小题5分,共30分)
9. 若奇函数的定义域为
，则
=
10. 计算
11.已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________________.
12.右图是用二分法求方程
在
的近似解的程序框图，要求解的精确度为
，①处填的内容是____________, ②处填的内容是______________________.
第13至15题，从3题中选答2题，多选按前2题记分
13. 设Ｍ、Ｎ分别是曲线
和
上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是
14. 如图，圆
是的外接圆，过点C的切线交
的延长线于点
，
，
。则
的长______________，
的长______________．
15. 已知
且
,
则
.
16.(本题满分12分)
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段
，
…
后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和
平均分；
(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，
求他们在同一分数段的概率.
17.(本题满分12分)
已知
，
（Ⅰ）求函数的最小正周期;
(Ⅱ) 当
,求函数的零点.
18. (本题满分14分)
如图，在三棱拄
中，
侧面
，已知
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）试在棱
(不包含端点
上确定一点
的位置,使得
；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下,求二面角
的平面角的正切值.
19. (本题满分14分)
在平面直角坐标系
中，设点
(1，0)，直线
:
，点
在直线上移动，
是线段
与轴的交点, 
.
(Ⅰ)求动点
的轨迹的方程；
(Ⅱ) 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦、
，设、 的中点分别为
．求证：直线
必过定点
．
20．(本题满分14分)
已知数列
中,
,且
(Ⅰ)求证：
;
(Ⅱ)设
,
是数列
的前项和,求的解析式;
(Ⅲ)求证：不等式
对
恒成立.
21. (本题满分14分)已知函数
(其中
) ,
点
从左到右依次是函数
图象上三点,且
.
(Ⅰ) 证明: 函数在上是减函数；
(Ⅱ)
求证：⊿
是钝角三角形;
(Ⅲ) 试问,⊿能否是等腰三角形?若能,求⊿面积的最大值;若不能,请说明理由．
08届高三调研考试数学试题(理科)答案及评分标准
一、选择题 CCABA BAC
二、填空题
| 题号 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 答案 |
| 6 |
|
|
| 4， | 1 |
三、解答题
16.(本题满分12分)
（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：
……2分
直方图如右所示……………………………….4分
（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为 
所以，抽样学生成绩的合格率是
%......................................6分
利用组中值估算抽样学生的平均分
………………….8分
＝
＝71
估计这次考试的平均分是71分………………………………………….9分
（Ⅲ）
，
，
”的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。
……………………………………………………12分
17.(本题满分12分)
解：（Ⅰ）
=
…………………….4分
故
…………………………………………………5分
（Ⅱ）令
，
=0，又
…… ………….7分
…………………………………………9分
故
函数的零点是
……………. 12分
18．(本题满分12分)
证（Ⅰ）因为侧面，故
在
中，
由余弦定理有
故有 
而 
且
平面
（Ⅱ）由
从而
且
故
不妨设 
，则
，则
又
则
在
中有 
从而
（舍负）
故为的中点时，
法二：以为原点
为
轴，设，则
由得 
即
化简整理得 
或 
当时与
重合不满足题意
当时为的中点
故为的中点使
（Ⅲ）取
的中点，
的中点，
的中点
，
的中点
连
则
，连
则
，连则
连
则
，且
为矩形，
又
故
为所求二面角的平面角
在
中，
法二：由已知
， 所以二面角的平面角
的大小为向量
与
的夹角
因为
故 
.
19. (本题满分14分)
解：(Ⅰ)依题意知，直线的方程为：．点是线段
的中点，且
⊥，∴是线段的垂直平分线．…………………….2分
∴
是点到直线的距离．
∵点在线段的垂直平分线，∴
．…………4分
故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为：
．…………………………………………………….7分
(Ⅱ) 设
，
，直线AB的方程为
…………………………………………………….8分
则
（1）—（2）得
，即
，……………………………………9分
代入方程，解得
．
所以点Ｍ的坐标为
．……………………………………10分
同理可得：的坐标为
．
直线的斜率为
，方程为
，整理得
，………………12分
显然，不论为何值，
均满足方程，
所以直线恒过定点．………………14
20. (本题满分14分)
.解:
故
,．……………………………………1分
又因为
则
,即
．………………………3分
所以
, ……………………………………4
(2)
=
……………………………………6
因为
=
所以,当时,
……………………………7
当
时,
……….(1)
得
……(2)
=
……………………………9
综上所述:
……………………………10
(3)因为
又
,易验证当
,3时不等式不成立; ……………………………11
假设
,不等式成立,即
两边乘以3得:
又因为
所以
即
时不等式成立.故不等式恒成立.
……………………………14
21. (本题满分14分)
解：(Ⅰ) 
…………………………
所以函数在
上是单调减函数. …………………………4分
(Ⅱ)
证明:据题意且x1<x2<x3,
由(Ⅰ)知f
(x1)>f (x2)>f (x3), x2=
…………………………6分
…………………8分
即⊿是钝角三角形……………………………………..9分
(Ⅲ)
假设⊿为等腰三角形，则只能是
即
①
…………………………………………..12分
而事实上, 
②
由于
,故(2)式等号不成立.这与
式矛盾. 所以⊿不可能为等腰三角形..14分