高三理科数学上学期第四次月考试题
数学(理科)试卷
注意事项：
1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卡上。
2．选择填空题答案写在答题卡上。
3．主观题请在规定区域答题。请务必保持答题纸的整洁，考试结束，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填写在答题卡相应位置上．
1.
将函数
的图象按向量
平移后，得到
的图象，则（ ）
A.
B. 
C. 
D. 
2.
若奇函数
（
）满足
，则
（ ）
A．0 B．1 C．
D．
3.
下列函数中，最小正周期为
，且图象关于直线
对称的是 （
）
A．
B．
C．
D．
4. 已知两个不同的平面a、b和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题
①若m//n，m^a，则n^a； ②若m^a,m^b，则a//b；
③若m^a，m//n，nÌ b，则a^b； ④若m//a，aÇb=n，则m//n.
其中正确命题的个数是 （ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
5. 已知直线x+y＝a与圆x2+y2＝4交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足+=-，则实数a的值是 （ ）
A. 2 B. -2 C. 或- D. 2或-2
6. 5名奥运火炬手分别到香港，澳门、台湾进行奥运知识宣传，每个地方至少去一名火炬手，则不同的分派方法共有 （ ）
A. 150种 B. 180种 C. 200种 D. 280种
7.
对于R上可导的任意函数f(x)，若满足
则必有 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．设
是公差为正数的等差数列，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离都等于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为
，则此球的体积为
（ ）
A. 
B.
C.
D.
10．在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．对于使
成立的所有常数M中，我们把M的最小值
叫做
的上确界,若
，则
的上确界为 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．设a、b、m为整数（m>0),若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为a≡b(mod m)。已知a=1+C
+C
·2+C
·22+…+C
·219，b≡a(mod 10)，则b的值可以是（ ）
A.2015 B.2011 C.2008 D.2006
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡相应位置上．
13．过椭圆
作直线交椭圆于A、B二点，F2是此椭圆的另一焦点，则
的周长为
.
14．已知
的最小值为－6，则常数k=
.
15．抛物线x2＝4y的准线l与y轴交于P点，若l绕点P以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转，则经过_______秒，l恰好与抛物线第一次相切.
16．下面有五个命题：
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是
.
②终边在y轴上的角的集合是{aa=
}.
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
所有正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题12分) 已知
,
.
(1)求的解析式及周期
;
(2)当
时, 
,求
的值.
18．(本小题满分12分)已知数列
的首项为
，前
项和为
，且点
在直线
上，
为常数，
。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）当
，且
最大时，试求的取值范围。
19．(本小题满分12分)
如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1.
（I）求证：A1C//平面AB1D；
（II）求二面角B—AB1—D的大小；
（III）求点C到平面AB1D的距离.
20．（本小题满分12分）已知函数
的定义域为
，
（1）求M
（2）当
时，求
的最小值.
21．(本小题满分12分)
已知椭圆
过点
，且离心率
.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线
与椭圆交于不同的两点、
，且线段
的垂直平分线过定点
，求
的取值范围。
22．（本小题满分14分）
设函数
，其中
。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当
时，证明不等式：
；
（Ⅲ）设的最小值为
，证明不等式：
；
高三理科数学上学期第四次月考试题
数学(理科)试卷参考答案
一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | B | B | D | D | A | C | B | D | C | B | B |
二、填空题：
13、24 14、0 15、3 16、①④
三、解答题：
17、解: (1)
……3分
……………………………………………5分
(2)时, 
……………………………………6分
………………………………8分
………… ………………………………10分
………………………………………………………12分
18. 解：（Ⅰ）由题意可知
数列
是等差数列 ………（2分）
，
当
时，
两式相减，得
………………………（4分）
时也成立
∴的通项公式为：
………………………………（6分）
（Ⅱ）由前项和公式得
当时，
∵最大， 则有
，解得
……………………… （12分）
19、【解】解法一（I）证明：
连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.
∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，
∴四边形A1ABB1是正方形，
∴E是A1B的中点，
又D是BC的中点，
∴DE∥A1C. ………………………… 3分
∵DE
平面AB1D，A1C
平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分
（II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG.
∵平面A1ABB1⊥平面ABC， ∴DF⊥平面A1ABB1，
∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影， ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1
∴∠FGD是二面角B—AB1—D的平面角 …………………………6分
设A1A = AB =
1，在正△ABC中，DF=
在△ABE中，
，在Rt△DFG中，
，
所以，二面角B—AB1—D的大小为
…………………………8分
（III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，
∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.
在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H，
则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离. ……………………………10分
由△CDH∽△B1DB，得
即点C到平面AB1D的距离是
……………………………………12分
解法二：
|
（I）证明：
连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.
设A1A = AB = 1，
则
…………………………3分
，
……………………………………4分
（II）解：
， 
，
设
是平面AB1D的法向量，则
，
故
；
同理，可求得平面AB1B的法向量是
……………………6分
设二面角B—AB1—D的大小为θ，
，
∴二面角B—AB1—D的大小为
…………………………8分
（III）解由（II）得平面AB1D的法向量为
，
取其单位法向量
∴点C到平面AB1D的距离
……………………12分
20、解：（1）由
+
=12，=27，且
>0,所以=3，=9，
从而
，
（n∈N*）（………………………4分）
在已知
中，令n=1，得
20. （本小题满分12分）
解 (1)
（…………4分）
(2)
=
又
，
，
（…………………6分）
①若
，即
时，
=
=
，（…………8分）
②若
，即
时，
所以当
即
时，=
（………………11分）
（…………………12分）
21.由题意椭圆的离心率
∴椭圆方程为
……2分
又点在椭圆上 
∴椭圆的方程为
……4分
（Ⅱ）设
由
消去
并整理得
……6分
∵直线
与椭圆有两个交点
，即
……8分
又
中点
的坐标为
……9分
设的垂直平分线
方程：
在上 
即
……11分
将上式代入得
即
或
的取值范围为
……12分
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知得函数的定义域为
，且
，
，解得
……2分
当变化时，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
| － | 0 | + |
|
| ↘ | 极小值 | ↗ |
由上表可知,当
时，
，函数在
内单调递减，…3分
当
时，
，函数在
内单调递增，……4分
所以,函数的单调减区间是,函数的单调增区间是。…5分
（Ⅱ）设
。
对
求导，得：
。……7分
当
时，
，所以在
内是增函数。所以在
上是增函数。
当时，
，即
。……8分
同理可证
＜x。……9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
，……11分
将代入， 得: 
即:1＜(a+1)
，……13分
，即。……14分