2004-2005学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学同步测试(4)—《平面向量及复数》
一、选择题(本题每小题5分,共60分)
1.设向量
( )
A. B.
C.-
D.-
2.如果复数(其中
为虚数单位,
为实数)的实部和虚部是互为相反数,那么
等于 ( )
A. B.
C.2 D.-
3.的值是 ( )
A.0 B.-1 C.1 D.
4.若=(2,-3),
=(1,-2),向量
满足
^
,
·
=1,则
的坐标是 (
)
A.(3,-2) B.(3,2) C.(-3,-2) D.(-3,2)
5.使为虚数单位)的实数a有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.设e是单位向量,,则四边形ABCD是 ( )
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
7.已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(0,3),点P在线段AB上,且的最大值为 ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
8.已知,
与
的夹角为
,则使向量
与
的夹角为钝角的实数
的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
9.若为复数,下列结论正确的是
( )
A.若
B.
C.若则
为纯虚数
D.若是正实数,那么
一定是非零实数
10.若是纯虚数,则
的值为 ( )
A. B.
C. D.
11.已知△ABC的三个顶点的A、B、C及平面内一点P满足,下列结论中正确的是 ( )
A.P在△ABC内部 B.P在△ABC外部
C.P在AB边所在直线上 D.P是AC边的一个三等分点
12.复数z在复平面上对应的点在单位圆上,则复数
( )
A.是纯虚数 B.是虚数但不是纯虚数
C.是实数 D.只能是零
二、填空题(本题每小题4分,共16分)
13.已知复数z满足等式:,则z=
.
14.把函数)y=2x2—4x+5的图象按向量平移后,得到y=2x2的图象,且
⊥
,
=(1,-1),
·
=4,则
=_____________。
15.若复数z满足的最小值是___________.
16.i为虚数单位,复数等于___________________.
三、解答题(本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)已知向量.
①若点A、B、C能构成三角形,求实数m应满足的条件;
②若△ABC为直角三角形,且∠A为直角,求实数m的值.
18.(本小题满分12分)已知向量=(cos
x,sin
x),
=(
),且x∈[0,
].若f (x)=
·
-2
|
+
|的最小值是
,求
的值.
19.(本小题满分12分)已知向量向量
与向量
夹角为
,且
.
(1)求向量;
(2)若向量与向量
=(1,0)的夹角为
,其中A,C为
△ABC的内角,且A,B,C依次成等差数列,试求求+
的取值范围.
20.(本小题满分12分)已知为
的三个内角,
且.
(1)当取得最小值时,求
的度数;
(2)当时,将函数
按向量
平移后得到函数
,
求向量.
21.(本小题满分12分).已知A、B、C是△ABC的三个内角,
向量.
(1)求证:A·
B为定值;
(2)求C的最大值.
22.(本小题满分14分)已知向量,
,
,
,且
与
之
间有关系式:,其中k>0.
(1)试用k表示;
(2)求的最小值,并求此时
与
的夹角
的值.
参 考 答 案
(四)
一、选择题(每小题5分,共60分):
(1).A (2).D (3).C (4). C (5).C (6). B (7). C (8).D (9).D (10).B (11).D (12)C
二、填空题(每小题4分,共16分)
(13). -1,-1-2i ; (14). (3,-1); (15). 1
; (16). -
三、解答题(共74分,按步骤得分)
17.解 ①已知向量
若点A、B、C能构成三角形,则这三点不共线,………………2分
…………5分
故知 ∴实数
时,满足的条件…………8分
(若根据点A、B、C能构成三角形,必须AB+BC>CA…相应给分)
②若△ABC为直角三角形,且∠A为直角,则,
…………10分 解得
…………12分
18.解:a · b……………………2分
a+b …4分
∴cos x≥0,因此 a+b =2 cos x
∴f (x)=a · b-2|a+b|即
…………6分
∴0≤cos x≤1
①若<0,则当且仅当cos x=0时,f (x)取得最小值-1,这与已知矛盾;…… 8分
②若0≤≤1,则当且仅当cos x=
时,f (x)取得最小值
,
由已知得,解得:
………………10分
③若>1,则当且仅当cos x=1时,f (x)取得最小值
,
由已知得,解得:
,这与
相矛盾.
综上所述,为所求.
12分
19. 解:(1)设,有
① ………(1)
因为,所以
,
,
,
,
. (2)由(1)
,当且仅当
,即
时取等号.此时,
,
,
,所以
的最小值为
,此时
与
的夹角
为
由夹角为
,有
.
∴②………………3分
由①②解得 ∴即
或
…………4分
(2)由垂直知
…………5分
由2B=A+C 知……6分
20.解:(1)解:
,当
最小时,
或60°,
或90°
(2)解:,
设
,
,
21.解:解:(理)(1)由=
得:
,……2分
即:,
……2分
4-B)=5
+B),
……4分
……6分
(2)由(1)得A>0,
>0,
又C=
[
-(A+B)]=-
(A+B)
=-≤
·2
……10分
当且仅当A=
B。即A=B时,
C取得最大的值,此时
C=
…12分
22.
解(1)因为,所以
,
,
,……3分
,
. …………6分
(2)由(1),…………9分
当且仅当,即
时取等号.
…………10分
此时,,
,
,
所以的最小值为
,此时
与
的夹角
为
…………12分