2005—2006学年度上学期浙江省五校联考高三年级检测题
数学（理科）试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符事题目要求的）
1．已知p:{x2x－3>1, q: {xx2+x－6>0，则
p是q的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．要得到函数y=sin2x的图象，可以把函数y=sin(2x－
)的图象 （ ）
A．向左平移
个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
3．已知数列
它的前n项的积大于105，则正整数n的最小值是（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
4．函数y=f(x)的反函数
的图象 （ ）
A．关于点（－3，－2）对称YCY B．关于点（－2，－3）对称
C．关于直线y=－2对称 D．关于直线x=－3对称
5．在以下关于向量的命题中，不正确的是 （ ）
A．若向量a=（x, y），向量b=(－y,x) (xy≠0)，则a⊥b
B．四边形ABCD是菱形的充要条件是
C．点G是△ABC的重心，则
D．△ABC中，
的夹角等于角A
|
|
的图象大致是（ ）
7．集合P{(x, yy=k), Q={(x,y)y=ax+1, a>0, a≠1}，已知P∩Q只有一个子集，那么实数k的
取值范围是 （ ）
A．（－∞，1） B．
C．（1，+∞） D．（－∞，+∞）
8．某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四
位同学分别给出下列四个结果：①
②
③26－7；④
.其中正
确的结论是 （ ）
A．仅有① B．②和④ C．②和③ D．仅有③
9．
分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，
且
的解集为 （ ）
A．（－2，0）∪（2，+∞） B．（－2，0）∪（0，2）
C．（－∞，－2）∪（2，+∞）YCY D．（－∞，－2）∪（0，2）
|
各院系B，C，D，E，F，G，H，I
之间拟建立信息联网工程，实际测
算的费用如图所示（单位：万元），
请观察图形，可以不建部分网线，
而使得信息中心A与大学各部门、
各院系连通（直接或中转），则最少的建网费用是YCY （ ）
A．12万元 B．13万元 C．14万元 D．16万元
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分。把答案填在题中横线上。
11．若
的夹角是
.
12．已知函数
有相同的值域，则p的值为
.
13．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f(2)等于
14．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过
k(k∈N*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数。下列函数：①f(x)=sinx；
②f(x)=π(x－1)2+3；③
④
，其中是一阶格点函数的有
.
三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，满分84分。解答应写出文字说明证明过程或淀算步骤。
15．已知函数
（1）化简
；
（2）若
16．已知数列{an}的前n项和为Sn；且向量
共线.
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）求数列
的前n项和Tn.
17．设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.
（1）若当
时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若关于x的方程x2+x+a=f(x)在区间[0，2]上恰好有两个相异实根，求实数a的取值范围.
18．函数y=f(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[2，3]时，f(x)=2x－3
（1）当x∈
时，求f(x)的表达式；
（2）在y=f(x)的图象上有A、B两点，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[1，3]上，定点C的坐标为（0，a）（a>3或a<1），求△ABC的面积的最大值.
19．甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)及任意的x≥0，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败风险。
（1）请解释f(0)=11, g(0)=21的实际意义；
（2）当
时，甲、乙两公司为了避免恶心竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时甲、乙两公司各应投入多少宣传费？
20．已知数列{an}与{bn}满足下列关系：
（其中a>0）
（1）求数列{bn}的通项公式，并证明：
（2）设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，Sn与(n+
)a是否有确定的大小关系？若有，请加以证明，若没有，请说明理由.
数学试题答案（理科）
一、选择题（每小题5分，共50分）
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答 案 | A | A | C | B | D | D | B | C | A | B |
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．120° 12．
13．18 14．①②④
三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，满分84分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。
15．解（1）
………………2分
16．解：（1）
共线，∴n(n+3)－4Sn=0，
………………………………………………………………………3分
满足此式，
…………………………………………………………………………6分
为常数，∴数列{an}为等差数列…………………………………8分
（2）
…………………………………………………11分
14分
17．解：
，……………………………………2分
∴x=1为极小值点，要使g(x)恰好在[0，2]上有两个相异零点，只要方程
上各有一个实根，
…………………………………………14分
18．解：（1）∵y=f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[2，3]时，f(x)=2x－3,
∴当x∈[0，1]时
f(x)=f(x+2)=2x+1，又∵y=f(x)是偶函数，∴当x∈
时
f(x)=f(－x)=－2x+1，∴当x∈(1,2)时，f(x)=f(x－2)=－2(x－2)+1=－2x+5，
…………………………………………5分
（2）不妨设点A在B左侧，则A(x,5－2x), B(4－x,5－2x)其中 x∈[1，2
则AB=(4－x)－x=4－2x，∴S(x)=
(4－2x)·a－(5－2x)=(2－x)a－5+2x…………7分
①当a<1时，∴S(x)=(x－2)(2x+a－5),此时易知当x=1，即A（1，3）、B（3，3）时
S(x)的最大值为S（1）=3－a；…………………………………………………………9分
②当a>3时，∴S(x)=(2－x)(2x+a－5),其对称轴为x=
，方程(2－x)(2x+a－5)=0的两根为x1=
, x2=2
且x1<1<x2，
若3<a≤5，则有1≤<2，∴S(x)的最大值为S（）=
；
若a>5则有<1，∴S(x)的最大值为S(1)=a－3.
综上所述S(x)max=
…………………………14分
19．解（1）f(0)=11表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要回避失败的风险，至少要投入11万元的宣传费；g(0)=21表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要回避失败的风险，至少要 投入21万元的宣传费。………………………………………………4分
（2）设甲公司投入的宣传费为x万元，乙公司投入的宣传费为y万元，依题意，
当且仅当
时双方均无失败的风险。………………7分
由（1），（2）得
，………………………………………… 9分
故在双方均无风险的条件下，甲公司至少投入25万元，乙公司至少投入16万元。14分
20．解：（1）
