河南省实验中学2005—2006学年度高三年级月考试题
数学试卷（理科）
YCY
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试题科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率Pn（k）=
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
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2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6－S2=4，则S8的值是 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．函数y=2x+1(－1≤x<0)的反函数是 （ ）
A．y=1+log2x(x>0) B．y=－1+log2x(x>0)
C．y=1+log2x(1≤x<2) D．y=－1+log2x(1≤x<2)
4．若圆x2+y2+mx－
=0与直线y=－1相切，则m值为 （ ）
A．
B．± C．2 D．－2
5．已知函数
，且以2为最小正周期，并当x=2时取
得最大值，则
的一个值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．l是三棱柱底面所在平面内的直线，在三棱柱的三条侧棱和另一个底面的三条边所在的6
条直线中，与l构成异面直线的条数不可能是 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知向量a=2, b=2， a与b的夹角为60°，则a－b与b的夹角是 （ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
8．已知
为常数），则b的值是 （ ）
A．4 B．0 C．2 D．－4
9．若双曲线
的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则双曲线两条渐近线的
夹角为 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
10．若直线
相切，则a的值是 （ ）
|
D．－
11．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E在侧
棱DD1上，且截面EAC与底面ABCD成
45°角，则二面角A—EC—D为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
12．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标
表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，
n维向量可用（x1，x2，x3，x4，…,xn）表示.
设a=(a1, a2, a3, a4，…, an)，b=（b1, b2, b3, b4,…,bn），规定向量a与b夹角θ的余弦为
当a=(1, 1,1,1…,1)，b=(－1, －1, 1, 1,…,1)时，cosθ= （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
1．第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上，不要在答题卡上填涂。
2．答卷前将密封线内的项目填空清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13．已知复数z满足z(1+i)=2，则z的虚部是
14．不等式
的解集为
15．
的展开式中常数项为
.（用数字作答）
16．一个袋子里装有大小相同的3个红球与2个白球，从中同时取出2个球，则其中取出红球个数的数学期望为 .（用数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
设甲、乙两名同学投篮，甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，两人是否投中相互之间没有影响.求：
（I）两人各投篮1次，只有1人投中的概率；
（II）每人各投篮2次，甲投中1次、乙投中2次的概率.
18．（本小题满分12分）
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的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.
（I）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（II）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（III）求直线AB与平面PCD的距离.
19．（本小题满分12分）
求函数
在[1，3]上的最大值和最小值.
20．（本小题满分12分）
已知锐角
（I）求sin(A+B)的值；
（II）设m=(sinA, sinB), n=(cosB, －cosA), 且m·n=
，求tanA的值.
21．（本小题满分12分）
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的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆与x轴正半轴于P、Q两点，且
.
（I）求椭圆离心率e；
（II）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线
相切，求椭圆方程.
22．（本小题满分14分）
在数列{an}中，
.
（I）用数学归纳法证明：an>2(n∈N*);
（II）对于n∈N*，证明
（i）
（ii）a1+a2+a3+…+an<2n+1
数学试卷（理科）参考答案
一、选择题：
CDDBB DDABA CA
二、填空题
13．－1 14．
15．84 16．1.2
三、解答题
17．解：（I）记“甲投篮1次投中”为事件A，“乙投篮1次投中”为事件B，则P（A）=0.7，P（B）=0.8，由题意，A、B是相互独立事件.
两人各投篮1次，只有1人投中的概率
…………（3分）
=0.7×(1－0.8)+(1－0.7)×0.8
=0.38……………………………………………………………………………………（5分）
（II）因为甲投篮2次，投中1次概率P1=
0.7×(1－0.7)=0.42……………………（7分）
乙投篮2次，投中2次的概率P2=
0.82=0.64…………………………………（9分）
所以每人各投篮2次，甲投中1次、乙投中2次的概率
P=P1×P2=0.42×0.64=0.2688……………………………………………………… （12分）
18．（I）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB
又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥侧面PAB…………………………（2分）
又∵BC
侧面PBC
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（II）解：取AB中点E，连结PE、CE
又∵△PAB是等边三角形
∴PE⊥AB
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角……………………………………………（6分）
在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求…………………………………………（8分）
（Ⅲ）解：在矩形ABCD中，AB//CD
∵CD侧面PCD，AB
侧面PCD，∴AB//侧面PCD
取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB
又∵PE⊥AB ∴AB⊥平面PEF
又∵AB//CD ∴CD⊥平面PEF
∴平面PCD⊥平面PEF…………………………………………………………（10分）
作EG⊥PF，垂足为G，则EC⊥平面PCD
在Rt△PEF中，EG=
为所求………………………………
（12分）
19．解：
……………………………………………………（2分）
由
化简得x2－x－2=0 解得x1=－1(舍)或x2=2………………………………（4分）
当x∈（1，2）时，
>0 f(x)在x∈（1，2）上单调递增，
当x∈（2，3）时，<0 f(x)在x∈（2，3）上单调递减…………（6分）
又f(x)在[1，3]上连续
所以f(2)=ln2－为函数f(x)的极大值………………………………………（8分）
又∵f(1)=0 f(3)=ln3－1>0
∴f(3)>f(1)
所以f(1)=0是函数f(x)在[1，3]上的最小值，f(2)=ln2－为f(x)在[1，3]的最大值………………………………………………………………………………（12分）
20．解：（I）
……（2分）
∴sinC=
sin(A+B)=sin(π－C)=sinC=………………………………………………（4分）
（II）m·n=sinAcosB－cosAsinB= ①…………………………………………（6分）
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ②
由①，②得sinAcosB=
cosAsinB=
进而得tanB=tanA ③……………………………………………………（8分）
∵
④
将③代入④，得tan2A－4tanA－2=0
…………………………………………（12分）
21．解：（I）设Q（x0，0）由F（－c，0）（其中
）、A（0，b）
知
………………………………（2分）
设
，得
因为点P在椭圆上，所以
…………（5分）
整理得2b2=3ac，即2(a2－c2)=3ac
两边同除以a2记
解得e=，或e=－1（舍去）
故椭圆的离心率e=…………………………………………………………（8分）
（II）由（I），
于是F（－a，0） Q
，△AQF的外接圆圆心为（a，0）
半径r=FQ=a
因为这个圆与直线相切，所以
，解得a=2
∴c=1，b=，所求椭圆方程为
………………………………（12分）
22．（1）证明：（1）当n=1时，a1=
>2，结论成立………………………………（1分）
（2）假设n=k(k≥1)不等式ak>2成立
当
由ak>2得ak+1－2>0即ak+1>2
说明当n=k+1时，不等式也成立
根据（1）和（2），可知不等an>2对于n∈N*都成立。……………………（5分）
（II）证明：（i）由（I）可知an>2(n∈N*)
∴an+1－2>0 an－2>0
则
…………………………………………（8分）
………………………………（10分）
（ii）由（i）可知，当n≥2时，
…（12分）
则
当
，不等式也成立，故对于任意n∈N*，都有
a1+a2+a3+…+an<2n+1………………………………………………………………（14分）