2005年潍坊市高三年级统一考试
数学试卷（理工农医类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题 共60分）
参考公式：
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
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UA= （ ）
A．
B．
C．
D．
2．复数
在复平面内的对应点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量
的值为 （ ）
A．1 B．
C．
D．
4．已知函数
和
，其中
，则它们反函数的图象关于 （ ）
A．x轴对称 B．y轴对称 C．直线
对称 D．原点对称
5．函数
是R上的偶函数，且在
上是增函数，若
，则实数a的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．等差数列
，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是 （ ）
A．
B．－ C．
D．－1
7．设
是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题
①若
，则
； ②若l上两点到
的距离相等，则
；
③若
④若
其中正确的命题是 （ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
8．对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测，直到区分出所有次品为止. 若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有 （ ）
A．20种 B．96种 C．480种 D．600种
9．棱长都为2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．椭圆
的左准线为l，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线C2的准线为l，焦点是F2，C1与C2的一个交点为P，则PF2的值等于 （ ）
A．
B．
C．4 D．8
11．若函数
,则函数的图象与函数
的图象的交点个数为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
12．如图，南北方向的公路l，A地在公路的正东2km处，
B地在A地东偏北30°方向2km处， 河流沿岸
PQ（曲线） 上任一点到公路l和到A地距离相等.现
要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、B两地
转运货物，经测算从M到A， M到B修建公路的费
用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低
是 （ ）
A．
万元 B．
万元
C．5a万元 D．6a万元
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．如果把圆
平移后得到圆C′，且C′与直线
相切，则m的值为 .
14．等比数列
中，已知
=
.
15．锥体体积V可以由底面积S与高h求得：
. 已知正三棱锥P—ABC底面边长为2，体积为4，则底面三角形ABC的中心O到侧面PAB的距离为 .
16．若函数
满足：
对于任意
成立，则称函数具有性质M.
给出下列四个函数：①
，②
③
，④
.
其中具有性质M的函数是 .
（注：把满足题意的所有函数的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：
| 排队人数 | 0—5 | 6—10 | 11—15 | 16—20 | 21—25 | 25人以上 |
| 概 率 | 0.1 | 0.15 | 0.25 | 0.25 | 0.2 | 0.05 |
（I）每天不超过20人排队结算的概率是多少？
（Ⅱ）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？
18．（本小题满分12分）
正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=2，E，F分别是D1B，AD的中点，
.
（I）建立适当的坐标系，求出E点的坐标；
（Ⅱ）证明：EF是异面直线D1B与AD的公垂线；
（Ⅲ）求二面角D1—BF—C的余弦值.
19．（本小题满分12分）
下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0.1小时）
| 日期 | 1月1日 | 2月28 日 | 3月21 日 | 4月27 日 | 5月6 日 | 6月21 日 | 8月13 日 | 9月20 日 | 10月25日 | 12月21日 |
| 日期位置序号x | 1 | 59 | 80 | 117 | 126 | 172 | 225 | 263 | 298 | 355 |
| 白昼时间y（小时） | 5.6 | 10.2 | 12.4 | 16.4 | 17.3 | 19.4 | 16.4 | 12.4 | 8.5 | 5.4 |
（I）以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；
（Ⅱ）试选用一个形如
的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系.[注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算]
（Ⅲ）用（Ⅱ）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时.
20．（本小题满分12分）
设函数
R.
（I）求函数的最值；
（Ⅱ）给出定理：如果函数在区间[
]上连续，并且有
，那么，函数在区间
内有零点，即存在
.
运用上述定理判断，当
时，函数在区间
内是否存在零点.
21．（本小题满分12分）
双曲线
的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A（0，－b）,B（a,0）.
（I）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点. 若点M在直线
上的射影为N，满足
且
，求直线l的方程.
22．（本小题满分14分）
设
的图象上任意两点，且
，已知点M的横坐标为.
（I）求证：M点的纵坐标为定值；
（Ⅱ）若
；
（Ⅲ）已知
为数列的前n项和，若
都成立，试求
的取值范围.
数学试卷（理工农医类）参考答案及评分标准
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
ADAAD BDCCB CC
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
13．
14．
15．
16．①③
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17．（本小题满分12分）
解：（I）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20
人排队结算的概率是0.75. ……………………4分
（Ⅱ）每天超过15人排队结算的概率为：
0.25+0.2+0.05=， ……………………6分
一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为
；
一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为
；
一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为
；……………9分
所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：
，
所以，该商场需要增加结算窗口. ……………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（I）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A、B、C的坐标分别为A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）.
设D1（0，0，2m）（m>0），则E（1, 1, m）.
故E点坐标为（1，1，1）. ……………………4分
（Ⅱ）由（I）可知，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体.
又∵FD=1， ∴F（1，0，0），
故EF是AD与D1B的公垂线. ……………………8分
（Ⅲ）设n⊥平面FD1B，n=（x，y，z）
取n0=（2，－1，1）， ……………………10分
则n0与
所成角θ等于二面角D1—FB—C的平面角，
∴二面角D1—BF—C的余弦值为
……………………12分
解法二：（Ⅲ）延长CD交BF延长线于P，
作DN⊥BP于N，连ND1，
∵DD1⊥平面ABCD，∴ND1⊥BP，∴∠DND1就是二面角D1—FD—C的平面角.
……………………10分
在Rt△DFP中，DP=2，FD=1，FP=
，
∴二面角D1—BF—C的余弦值为
. ……………………12分
19．（本小题满分12分）
（I）画散点图见下面.
……………………4分
（Ⅱ）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为
，
由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，
即
，
由19.4－5.4=14，得A=7；
由19.4+5.4=24.8，得t=12.4；
又T=365，
……………………7分
……………………9分
（Ⅲ）
……………………11分
∴该地大约有121天（或122天）白昼时间大于15.9小时. ……………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（I）
令
……………………2分
|
由①知f（x）无最大值. ……………………6分
（Ⅱ）函数f（x）在[m，2m]上连续.
上递增. ……………………8分
由
……………………10分
又
根据定理，可判断函数f（x）在区间（m，2m）上存在零点. ……………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（I）依题意有：
……………………2分
解得：
所以，所求双曲线的方程为
……………………4分
（II）（法1）当直线
轴时，
，不合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
.
①………………6分
因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以
设
是方程①的两个正根，于是有
②…………………8分
因为
所以PM=MN=MQ=PQ=5.
又MN=x0+2=5，即x0=3， ……………………10分
而
.
②式，
符合题意.
所以直线l的方程为：
（x－2）. ……………………12分
又
. ……………………9分
显然k=±3满足②式.
所以所求直线的方程为
. ……………………12分
22．（本小题满分14分）
（I）证明：
M是AB的中点，设M点的坐标为（x，y）
∴M点的纵坐标为定值. ……………………4分
（II）解：由（I）知
……………………8分
. ……………………9分
（III）
……………………11分
因此
……………………14分