金华一中2005学年第一学期期中考试
高三数学试题
命题：徐志平 校对；郑建军
注意：考生碰到有文、理之分题，请选择相应的题。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷
注意事项：
本卷共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将答案写在答题纸上。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的中四选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集I＝｛1，2，3，4，5，6，7｝，M＝｛3，4，5｝，N＝｛1，3，6｝，则集合｛2，7｝等于 （ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2．（理科做）已知两点A（3，2）和B（－1，4）到直线
距离
相等，则m为 （ ）
A．
B．
C．
D．
（文科做）点（1，a）到直线
值为
（ ）
A．2
B．
C．
D．－
3．足球场上三人相互传球，由甲开始出发，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法的种数 ( )
A、6 B、8 C、10 D、16
4．已知
，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用
、
表示
的表达式为 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x－1，那么不等式f(x)<
的解集是 （
）
A．{x0<x<
} B．{x－<x<0}
C．{x－<x<0或0<x<} D．{xx<－或0≤x<}
6．（理科做）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y= -x2，值域为{-1，-9}的“同族函数”共有 （ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
（文科做）设函数f(x)是偶函数，且对于任意正实数x满足f(2+x)=－2f(2－x),已知f(－1)=4,那么f(－3)的值是 （ ）
A．2 B．－2 C．－8 D． 8
7．如图正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD所成角的大小
为
（ ）
A．30° B．
C．60° D．
8. 过点M(1,2)的直线
将圆(x－2)2＋y2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是
（ ）
A． x＝1 B。 y＝1 C。x－y＋1＝0 D。x－2y＋3＝0
9．在R上定义运算
：xy=x(1－y)，若不等式(x－a) (x+a)<1对任意实数x成立，则
（ ）
（ ）
A．－1<a<1 B．0<a<2 C．
D．
10．一机器狗每秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进3步，再后退2步的规律移动。如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以一步的距离为一个单位长，令p(n)表示第n秒时的机器狗所在位置的坐标，且p(0)=0,那么下列结论中错误的是 （ ）
A、p(3)=3 B、p(11)=3 C、p(111)=33 D、p(103)>p(104)
第Ⅱ卷
注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上。2．本卷共10小题，共100分。
二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
11．设
则
=
12．数列
=
.
13．过点P(-1,2)且与曲线y=3x
－4x+2在点M(1,1)处的切线垂直的直线方程是______________。
14．（理科做）若存在正实数x，使不等式
成立，则实数k的取值范围是 ________________ .
（文科做）不等式
的解集是
.
三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本大题满分14分）已知向量
，函数
，
，当函数
取最大值时，求向量
与
的夹角的大小。
16．（本大题满分14分）某学校的生物实验室里有一个鱼缸，里面有6条鱼，其中4条黑色的和2条红色的，有位生物老师每周4天有课，每天上、下各一节课，每节课前从鱼缸中任取1条鱼在课上用，用后再放回鱼缸.
（1）求这位生物老师在一天中上、下午所捞的鱼为同色的概率；
（2）求这位生物老师一周中恰有两天上、下午所捞得的鱼为不同色的概率.
17．（本大题满分14分）在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2
，M、N分别为AB、SB的中点.
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N—CM—B的大小；
（3）求点B到平面CMN的距离.
18．（本大题满分14分）已知数列
的前
项和
，其中
是首项为
，公差为
的等差数列．(1)求数列的通项公式； (2)若
，求数列
的前项和
．
19．（本大题满分14分）（理科做）设函数
（1）求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值；
（2）当x∈[a+1, a+2]时，恒有
成立，求a的取值范围.
（文科做）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,
（1）求f(x)的单调递减区间；
（2）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
20．（本大题满分14分）（理科做）如图所示，已知圆
为圆上一动点，点
在
上，点
在
上，且满足
轨迹为曲线
.
（1）求曲线的方程；
（2）若过定点
的直线交曲线于不同的两点
、
（点在点
、之间），且满足
，求
的取值范围.
（文科做）平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，－2），点C满足
、
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线
交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：
（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围.
金华一中2005学年第一学期期中考试
高三数学试题答题纸
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案填写在对应方格内.
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 |
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答卷中的横线上.
（11） （12）
（13） （14）
三．解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
金华一中2005学年第一学期期中考试
高三数学试题参考答案
第I卷（选择题，共50分）
一. 选择题。
1. B 2. （理科）B （文科）B 3. C 4. A 5. D
6. （理科） C （文科）C 7.B 8. D 9. C 10. C
第II卷（非选择题，共100分）
二. 填空题。
11. 0 12.
13.
14. （理科）
（文科） 
三. 解答题。（每题均14分）
15．解：因为
…………………2分
……………… 4分
…………………6分
，所以
时，
………8分
=
……13分
所以
……………14分
16．解：（1）设一天同为黑色鱼的概率为p1，同为红色鱼的概率为p2，
则
-------------------------6分
答：这位生物老师在一天中上、下午所捞的鱼为同色的概率为
---7分
（2）恰有两天不同色的概率为
---13分
答：这位生物老师一周中恰有两天上、下午所捞得的鱼为不同的概率
-------14分
17．解：（1）取AC中点D，连结SD、DB.
∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，
∴AC⊥平面SDB，又SB
平面SDB，∴AC⊥SB--------------------------------4分
（2）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连结NF，
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角---------------------------------------5分
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.
∵SN=NB，∴NE=SD=
=
=
，且ED=EB.
在正△ABC中，由平几知识可求得EF=
MB=，
在Rt△NEF中，tan∠NFE=
=2，
∴二面角N—CM—B的大小是arctan2-----------------------------------9分
（3）在Rt△NEF中，NF=
=，
∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2--------------12分
设点B到平面CMN的距离为h，
∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴
S△CMN·h=S△CMB·NE，
∴h=
=
.即点B到平面CMN的距离为-----------14分
18．解：（１）由已知，
------------------2分
∴
， ∴
．---6分
（２）
---------8分
∴
．
-----------------------------14分
19．（理科）（1）∵f′(x)=－x2+4ax－3a2=－(x－3a)(x－a), ------2分
由f′(x)>0得：a<x<3a -----------3分
由f′(x)<0得，x<a或x>3a， ---------------4分
则函数f(x)的单调递增区间为（a, 3a），单调递减区间为（－∞，a）和（3a，+∞）
列表如下：
| x | (－∞，a) | a | (a, 3a) | 3a | (3a,+ ∞) |
| f′(x) | — | 0 | + | 0 | — |
| f(x) |
| － |
| b |
|
a3+b
∴函数f(x)的极大值为b。 -----------------------------7分
（2）
上单调
递减，因此
-----8分
∵不等式f′(x)≤a恒成立，
-----------------13分
即a的取值范围是
------------------------14分
（文科）（1）
, ∴
或
减区间
---------------------------6分
（2）由（1）知
| x | （－2，1) | 1 | (1, 2) |
| f′(x) | — | 0 | + |
| f(x) |
| a－5 |
|
----------10分
当x=2时，
，∴
,--------12分
当x=-1时，
-----------14分
20．（理科）解：（1）
∴NP为AM的垂直平分线，
∴NA=NM. …………………………2分
又
∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.
且椭圆长轴长为
,焦距2c=2.
……………5分
∴曲线E的方程为
………………6分
（2）当直线GH斜率存在时，
设直线GH方程为
,
得
设
…………………8分
，
……………………12分
又当直线GH斜率不存在，方程为
……………………………………14分
（文科）（1）
解：设
即点C的轨迹方程为x+y=1 -----------------------4分
（3）
∴双曲线实轴长的取值范围是（0,1
-----------------------14分