北京市东城区2002年高三总复习练习（二）
数学（理工农医类）
学校______ 班级________ 姓名_______
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式
其中c'、c分别表示上、下底面周长，
l表示斜高或母线长 台体的体积公式：
其中S' 、S分别表示上、下底面积，h表示高.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。（1）若角α与角β的终边关于y轴对称，则
（A） 
（B）
（C）
（D）
（2）若圆锥的轴截面为直角三角形，则它的侧面展开图的圆心角为
（A） 
（B）
（C）
（D）π
（3）入射光线沿直线x-2y+3=0射向直线l:y = x，被直线l反射后的光线所在直线的方程是
（A）x+2y-3=0（B）x+2y+3=0（C）2x-y-3=0（D）2x-y+3=0
（4）已知
，则
的值是
（A）2（B）-2（C）
（D）
（5）若共轭双曲线的离心率分别为
和
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）函数
的图象只可能是
（7）在极坐标系中，点A在曲线
上，点B在曲线
上，则AB的最小值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）已知如图，∠C=90°AC=BC，M、N分别为BC和AB的中点，沿直线MN将△BMN折起，使二面角B′-MN-B为60°，则斜线B′A与平面ABC所成角的正切值为
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）已知θ为第二象限角，且
，那么
的取值范围是
（A） (-1,0)（B）
（C）(-1,1)（D）
（10）已知函数
对任意实数都有f(-x)=f(x), f(x)=-f(x+1)且在[0,1]上单调递减，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）小王打算用70元购买面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张，则不同的买法一共有
（A）5种 （B） 6种
（C） 7种 （D）8种
（12）已知平面α及以下三个几何体：
①长、宽、高皆不相等的长方体
②底面为平行四边形但不是矩形和菱形的四棱锥
③正四面体
这三个几何体在平面α上的射影可以是正方形的几何体是
（A）①② （B） ①③
（C）②③（D）①②③
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（13）
展开式中的第5项与第11项的二项展开式系数相等，则n=_____________.
(14)在直角坐标平面内，到点（1, 1）和直线x=-3距离相等的点的轨迹方程是_______.
（15）在等差数列
与等比数列
中，
,
（n=1,2,3……）则
与
的大小关系是__________________.
(16)如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：
①点H与点C重合
②点D与点M与点R重合
③点B与点Q重合
④ 点A与点S 重合
其中正确命题的序号是___________________.
（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知复数
,
满足
，
,求
的值。
（18）（本小题满分12分）
解关于x的不等式：
.其中a>0, a≠1.
(19) （本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P—ABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。
(Ⅰ)求证：PA//平面EDB；
(Ⅱ)求证：平面EDB⊥平面PBC；
(Ⅲ)求二面角D-PB-C的正切值.
(20)(本小题满分12分)
某房屋开发商出售一套50万元的住宅。可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后付清；也可以一次付清，并优惠x%。问开发商怎样确定优惠率可以鼓励购房者一次付款.(按一年定期存款税后利率2%，一年一年续存方式计算.x取整数.计算过程中可参考以下数据：
,
,
)
(21)(本小题满分12分)
已知双曲线
(a>0,b>0)的一条准线方程为
，一个顶点一到一条渐近线的距离为
。
(Ⅰ)求双曲线C的方程；
(Ⅱ)动点P到双曲C的左顶点A和右焦点F的距离之和为常数(大于AF)，且
的最小值为
，求动点P的轨迹方程.
(22) (本小题满分14分)
已知函数
.（a>0,a≠1）
(Ⅰ)证明函数y=f(x)的图象关于点
对称；
(Ⅱ)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值；
(Ⅲ)若
，求对任意自然数n，总有
成立的最小自然数a的值，并给出证明.
北京市东城区2002年高三数学总复习练习(理工农医类)(二)
参考答案及评分标准
一、（1）A （2）B （3）C （4）D （5） D（6）B （7）A （8）B （9）D
（10）B （11）C （12） D
二、（13） 14 （14）
（15）
（16）②④
三、（17）解：设
，
.
由已知，得
，得
。
∴
。……………………8分
可求得
。………………10分
则
。………………12分
（用数形结合法作的，必须步骤完整，叙术清楚才能给满分）
（18）解：原不等式等价于
当0<a<1时，原不等式等价于
…………………………2分
………………………4分
当a>0时，有
.
∴此时不等式的解为
。……………………6分
当a>1时，原不等式等价于
…………………………8分
……………………10分
当a>1时，有
∴此时不等式的解为
.
综上：当0<a<1时，原不等式的解为
当a>1时，原不等式的解为
………………12分
（19）（Ⅰ）证：连AC交BD于O，连EO.由四边形ABCD为正方形，得O为AC中点在△PAC中，由中位线定理得EO//PA……………………2分
又EO
平面EDB，PA
平面EDB，
∴PA//平面EDB.…………………………………………4分
（Ⅱ）证：由平面PDC⊥平面ABCD，BC⊥DC，得BC⊥平面PDC.又DE平面PDC，则BC⊥DE. E为PC的中点，△PDC为正三角形，∴DE⊥PC. BC∩PC=C，∴DE⊥平面PBC.
又DE平面EDB，∴平面EDB⊥平面PBC.…………………………8分
（Ⅲ）作EF⊥PB于F，连DF，由DE⊥平面PBC及三垂线定理得DF⊥PB.∠DFE是所求二面角的平面角.
设BC=4，则PC=4.
在等边△PDC中求出
.
在Rt△PFE中，∠EPF=45°，PE=2，可求出
.
∴
.……………………12分
（20）解：由题意得
……………………4分
…………………………6分
.………………………………8分。
∴x%>15.97%.
答：一次付款的优惠率应不低于是16%.…………………………12分
（21）解：(Ⅰ)由已知得方程组
由(1)得
(3)
并化简，得
. (4)
将(4)代入(3)，解得a=3.
∴b=4, c=5.
为所求.…………5分
（Ⅱ）由已知及椭圆定义得，点P的轨迹为椭圆.令椭圆的长轴长、短轴长和焦距分别为2a、2b和2c.可求得2c=5-(-3)=8.…………………………6分
设PA=m, PF=n, ∠APF=θ，由余弦定理，得
……………………7分
将m+n=2a代入上式，得
.……………………9分
当且仅当m=n=a是取等号.
由已知得方程
解得
……………………10分
∴
求出椭圆中心的坐标为（1，0）.
则
为所求.……………………12分
（22）（Ⅰ）证明：函数f(x)的定义域为全体实数.
任意一点（x, y）关于点对称的点的坐标为（1-x,-1-y）………………2分
由已知，
，
则
.
∴-1-y=f(1-x).
即函数y=f(x)的图象关于点对称.……………………5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有-1-f(x)=f(1-x),
即f(x)+f(1-x)=-1.
∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.
则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3…………………………9分
（Ⅲ）解：
∴
.…………………………………………………10分
由已知，a≠1.
当a=2时，
，当n=2时不成立.
当a=3时，
对任意自然数n都成立.
下面用数学归纳法证明.
当n=1时，左=3，右=1，3>1，不等式成立.
当n=2时，左=9，右=4，9>4，不等式成立.
令n=k(k≥2，k∈N)时不等式成立，即
则n=k+1时，
，
当k≥2，k∈N时，上式恒为正值.
则左>右，即
所以对任意自然数n，总有成立.
当a>3时，总有
成立.
所以使
对任意自然数n都成立的最小自然数a的值等于3.
即对任意自然数n都成立的最小自然数a的值等于3.……………… 14分