模拟试卷31
一、填空题：
2．有20个约数的最小自然数是______．
3．如图，AB=6厘米，BC=2厘米，ABCD是长方形，则阴影部分的面积是______平方厘米．
4．把1，2，7，8，9，10，12，13，14，15填入图中的小圆内，使每个大圆圈上的六个数的和是60．
6．体操选手的选拔赛上，每名裁判员给选手的最高分不超过10分．某位选手的得分情况如下：全体裁判员给的分数的平均分是9.72分，如果去掉一个最低分，则其余裁判员给的分数的平均数是9.76分，如果去掉一个最高分，则其余裁判给的分数的平均数是9.68分．那么所有裁判员给的分数中最低分至少是______分，共有______名裁判员．
7．一个自然数，各个数位上的数字之和是1997，则这个自然数最小是______．
8．甲、乙、丙、丁四个学生共有80张卡片，甲给乙10张，乙给丙12张，丙给丁7张，丁给甲4张，这时四人手里的卡片数相等，则甲、乙、丙、丁原有卡片分别是______张．
个可约分数，□内的数最大是______．
10．在8张小圆纸片上面分别写上2，5，8，11，14，17，20，23这8个数，把其中的四张分别放在一个大正方形的四个角上，再把余下的四张分别放在该正方形的四条边上，使得正方形每条边上的三个小圆纸片的数字之和都相等，那么这四个角上的四个数和最大是______．
二、解答题：
1．一艘轮船第一次顺流航行36千米，逆流航行12千米，共用12小时；第二次用同样的时间，顺流航行了12千米，逆流航行了20千米．求这艘轮船的静水速度及水流速度．
2．有甲、乙、丙三个人同时同向从同地出发，沿着周长为900米的环行跑道跑步，甲每分钟360米，乙每分钟300米，丙每分钟210米，问他们至少各绕了多少圈后才能再次相遇？
3．分母为1992的所有最简分数之和是多少？
4．如图，一块半径为1厘米的圆板，从平面1的位置沿AB、BC、CD滚动到位置2．如果AB=BC=CD=10厘米，那么圆板滚过的面积是多少平方厘米？（π取3，保留小数点后面2位数字）
模拟试卷31
一、填空题：
2.240
因为20=1×20=2×10=2×2×5=4×5，由于所求自然数最小，有20个约数的自然数可能是：
219，29×3，24×3×5，24×33
显然最小的是24×3×5=240.
3.19.4
4.如图
要使每个大圆圈上的六个数的和等于60，两个圆圈上的各数之和应为120，但已知给的10个数之和是91，120-91=29，29是两个大圆圈上公共的两个数之和，只有14+15=29，把这两个数添入大圆圈上公共小圆圈内，再把其它8个数分成和是31的两组.
5.六
因为一星期有7天，而7整除，1997÷3=665…2，说明还余下2个1997，由于
÷7=…3，3+3=6.
6.最低分至少9.44分，有8名裁判员.说有x名裁判员，最高分是a，最低分是b，则
9.72x=9.76（x-1）+b
9.72x=9.68（x-1）+a
即b=9.76-0.04x
a=0.04x+9. 68
所以a+b=9.76+9.68=19.44
由于a≤10，则b≥9.44，故最低分至少是9.44分.
由9.44=9.76-0.04x
x=8
要使这个自然数最小，则这个自然数的位数要尽可能少，这就要求各位数位上的数字尽可能大，最大取9.
1997÷9=221…8
8.甲26，乙22，丙15，丁17.
这类问题可以倒着想，最后这四人手里的卡片数相等，所以每人有卡片：
80÷4=20（张）
通过逆推法可以得出这四人原有的卡片数，列表如下：
9.98
由于要求原分数可约，必然原分数的倒数也可约.因为
□+7必有因数 5或17.又因为□是一个两位数，而105= 5×21，含有因数5，所以□=105-7=98，即□中最大的两位数是98.
10.68，如图
题目要求正方形每条边上的三张小圆纸片的和都相等，其中四个角上的数在计算时重复计算各一次，因此四条边共12个数相加的和必是4的倍数，而8张小圆纸片上的数字之和为：
100是4的倍数，所以放在四个角上的数字必是4的倍数.由于
14+17+20+23=74
74不是4的倍数.但比74小的数72是4的倍数，但卡片中任意四个数的和都不等于72，依次考虑68，其中23、20、17、8这4个数的和正好是68，这样可以算出每条边上三个数之和是：
（68+100）÷4=42
根据这个结果很容易得出四个角上放置的数字，如图，通过计算检验得到正方形边上的四个数字，由此可见四个角上的四个数的和最大是68.
二、解答题：
1.船速是6千米/时，水速是2千米/时.
根据线段图可以看出，顺流36-12=24千米所用时间等于逆流20-12=8千米所用时间，即相同时间里顺流行了24千米，逆流行了8千米，所以顺流速度是逆流速度的
（36-12）÷（20-12）=3倍，假设第一次航行全是顺水航行：
顺水速度：（36+12×3）÷12=6（千米/时）
逆水速度：12÷（12-36÷6）=2（千米/时）
船速：（6+2）÷2=4（千米/时）
水速：（6-2）÷2=2（千米/时）
2.甲、乙、丙分别跑了12、10、7圈.
设x分钟之后三人相遇，相遇时，甲与乙的路程差应是900的倍数，即
（360-300）x=900m（m是自然数）
同理（300-210）x=900n（n是自然数）
（360-210）x=900p（p是自然数）
得x=15m，x=10n，x=6p.可知x是15、10、6的最小公倍数，有x=[15，10，6]=30，所以30分后甲、乙、丙三个人相遇，此时甲、乙、丙分别跑的圈数是：
360×30÷900=12（圈）
300×30÷900=10（圈）
210×30÷900=7（圈）
因为1992=3×8×83，因此分母为1992的最简分数的分子不能是2的倍数、3的倍数和83的
倍数.所以分母为1992，分子不是2或3的倍数
且小于1992的所有分数是：
这些数可以分成两类：一是分子被6除余1，二是分子被6除余5，即
其中含有分子是83的倍数，这S1与S2的和减去这些倍数即为所求.
S1、S2的分子成等差数列，S1的分子为1、7、13、…、1987，共有（1987-1）÷6+1=332个数，S2的分子为5、11、17、…、1985、1991，共有（1991-5）÷6+1=332个数，所以
4.圆板滚过的图形面积是53.94平方厘米
解答本题的关键在于想象出圆板滚过的图形，现将圆板滚过的图形分割成a、b、c、d、e、f、g，其中图a、b、c分别是长为9厘米、8厘米、7厘米，宽是 2厘米的长方形；图 d、 f正好拼成一个圆；图e是
0.5厘米，厘米的小正方形与一个半径为0.5圆心角是90°的扇形面积之和.所以圆板滚过的图形面积为：
（平方厘米）
