整数分组
47 证明：在任意的四个自然数中，至少有两个数的差是3的倍数。
48 任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？为什么？
49 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20。
50 从1，4，7，10，…，37，40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有2个数的和是41。
51 证明：在自然数1～100中任取21个数，其中一定有2个数的差（大数减小数）小于5。
52 证明：在自然数1～125中任取7个数，其中一定有2个数的商（大数除以小数）不大于2。
53 证明：在自然数20～160中任取6个数，其中一定有2个数的比值
54 证明：从前100个自然数中任意取出51个数，其中至少有2个数，较大的数是较小的数的整数倍。
55 从1，3，5，7，……， 37，39这20个奇数中任意取出 14个，试证明：其中至少有2个数，一个数是另一个数的倍数。
56 从2，4， 6， 8，…， 30， 32这 16个偶数中任意取出 9个，试证明：其中至少有2个数、一个数是另一个数的倍数。
57 从1，3，5，…，97，99中最多可以选出多少个数，使它们当中的每一个数都不是另一个数的倍数？
58 证明：从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4。
59 从1，2，3，…，1998， 1999这些数中最多可以选出多少个数，使其中任意两个数的差都不等于4？
60 从前11个自然数中任意取出6个，求证：其中必有2个数互质。
61 证明：在前2n个自然数中，任意取出（n+1）个，其中必有2个数互质。
62 求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍数。
63 任意写一个由数字1，2，3组成的三十位数，从这三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数。证明：从所有不同位置截取的三位数中，至少有两个相同。
64 任意写一个由数字1，2，3，4组成的六十七位数，从这个六十七位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数。证明：从所有不同位置截取的三位数中，至少有两个相同。
65 10个小朋友每人有10块糖，如果每人每天至少吃3块，吃完为止，那么至少有几个小朋友每天吃糖的数目都相同？
66 右图是一个5行5列的方格表，能否在每个空格中分别填上1，2，3中的一个数，使得每行、每列、每条对角线上的五个空格中的数字和互不相同？为什么？
67 在9×9方格纸的每个方格中任意填入1，2，3三个数之一，然后分别对每个2×2方格中的四个数求和。问：在这些和数中至少有多少个相同？
68 证明：对于任意的七个自然数，其中必有四个数的和是4的倍数。
69 证明：对于任意的七个自然数，其中必有两个数的和或差是10的倍数。
71 设自然数n具有如下性质：从前n个自然数中任取21个，其中必有2个数的差是5。求这样的n中最大的那个。