机械能（三）有关功、功率、动能定理的几个小专题
不同力做功问题分类解析：
高一学生在学习力做功问题时会出现不少问题。主要原因是由于不同性质的力做功特点不一样导致计算方法不同。下面我们将常见的几种力做功的计算方法作一简要分析。
（一）恒力做功的计算
力和物体在力的方向上发生的位移是力做功不可缺少的两个因素。如果该力是恒力，则该力所做的功就等于该力与该力方向上位移的乘积。解决此类问题，完全没必要死记公式“
”，我们既可以分解力也可以分解位移。
如图1所示。水平面上一物体在与水平方向成
角的拉力F作用下发生位移
，求力F所做的功。
图1
解：
（1）分解力：本题中力和位移不在一条直线上，将力F分解成一个与位移在一条直线上的分力
和一个与位移方向垂直的分力
，如图2所示，由于
与垂直，这个力的功
；
与同向，这个力的功
。由力F的功等于它的两个分力功的和
，得
。即：力F做的功就等于F在方向上的分力所做的功。
图2
（2）分解位移：将物体的位移分解成沿力F方向的分量
和垂直力F方向的分量
，如图3所示。由于
与F垂直，该方向上力做的功，则力F做的功
，与用公式
计算的数值完全相同。我们把与力F的方向一致的位移分量
称为有效位移分量。
图3
[例1] 某物体质量为
，与水平地面间的动摩擦因数为
，第一种情况下力F斜向下与水平方向成
角；第二种情况下力F斜向上与水平方向成角。两种情况下物体在水平方向上发生的位移都是，求两种情况下二力做功的大小关系。
解析：根据恒力做功的公式可知，两种情况下力F做的功都为
，大小相等。
说明：力做的功就等于这个力和这个力方向上位移的乘积，与别的因素无关，某个力所做的功并不一定等于物体动能的变化，因为物体动能的变化等于合外力对物体所做的功，在这一点上初学者容易出错。
（二）合力做功的计算
功是一个标量，只有大小没有方向，功的求和是代数求和。所以，求合力的功有以下三种方法：（1）先求合力，再求合力的功；（2）先求各分力的功，再求各分力功的代数和；（3）根据动能定理，求物体动能的改变量。
[例2] 如图4所示，质量为
的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数
，现用与水平方向成
的斜向下的力
推物体。使物体向右运动。物体从开始运动经过
的时间内合外力对物体做的功是多少？（
）
图4
解：如图5所示，物体受四个力作用，重力
、支持力
、推力F、滑动摩擦力
在竖直方向上：
在水平方向上：
且
解得
N，
内物体的位移
（1）该物体在其位移方向上的合力为
（也可以根据
计算），
。
（2）
，
，
=140J，
，所以合力所做的功
。
（3）该物体的初速度
，物体的末速度
，
。
图5
说明：求合力的功究竟采用那一种方法因题而异。如果题目中各个分力的功都容易求出，则可以先求各分力的功再求代数和；如果题目中所给条件容易求合力（如有质量、加速度），一般先求合力再求合力的功；如果题目中给出物体的初、末速度，就尽量应用动能定理求解。
（三）变力做功的计算
功的计算式只适用于求恒力做功，对求变力做功不适用，求变力功的方法很多，高一阶段一般采用动能定理。
[例3] 如图6，质量为的物块与转台之间的动摩擦因数为，物块与转轴相距R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始做匀速转动，在这一过程中，摩擦力对物块做的功为（ ）
A. 0 B. 
C. 
D. 
图6
解析：首先要明确研究的过程是物块随转台由静止开始转动到匀速转动的过程，该过程物块的动能在不断的增大，而物块受到的重力和支持力不做功，则只有摩擦力对其做功。物块的末动能就是转台开始匀速转动也是物块即将滑动时的动能，可认为此时是由最大静摩擦力（等于滑动摩擦力）提供向心力。
由牛顿第二定律，得
由动能定理，得
，则
说明：动能定理的应用非常广泛，除可计算变力的功外，还可计算耗散力作用下物体的位移（本文不再讨论）。因其只需考虑物体初、末状态的动能，而不需考虑过程的细节，因此优于牛顿运动定律。
（四）重力做功的计算
给出重力就包含了一个隐含条件，即重力方向竖直向下。竖直方向上的位移，通常称之为高度。根据功等于力和该力方向上位移的乘积知，只要物体初、末位置高度差一定，重力做功就一定，即重力做功与物体通过的路径无关，只与物体初、末位置之间的高度差有关
。
[例4] 如图7所示，同一物体从A、B、C三个等高的不同形状的斜面顶端滑下，求三种情况下重力做功的大小关系。
图7
解析：根据重力做功特点可知，三种情况下重力做功相等，都是
。
说明：像重力、电场力等都属于保守力，保守力做功的特点是与物体通过的路径无关。
（五）滑动摩擦力做功的计算
某物体在地面上直线滑行时，该物体所受滑动摩擦力和物体的位移总在同一条直线上方向相反。这说明物体在整个运动过程中滑动摩擦力始终对它做负功，且滑动摩擦力的位移在数值上等于物体的路程，即使物体做曲线运动也适用，
。
[例5] 某物体质量为，与水平地面间的动摩擦因数为，现用水平力将此物体沿一半径为R的操场推一周，求推力F至少做多少功？
解析：在上述过程中，即使物体的动能不增加也必须克服滑动摩擦力做功，所以推力F做的功至少等于克服滑动摩擦力做的功。根据滑动摩擦力做功的特点，得
。容易出现的错误是认为位移
，则
。
说明：滑动摩擦力和空气阻力等都属于耗散力，这类力做功的特点是物体在力方向上的位移等于物体通过的路程。
以上对各种不同种类力的做功特点作了简要分析。希望同学们认真体会。
三. 有关动摩擦力做功
（一）动摩擦力做功与“路径有关”
原型：用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块与轨道间动摩擦因数为，物块质量为，求此过程中摩擦力所做的功。
图1
分析：物体在整个过程中摩擦力大小
不变，而方向时刻改变，是变力，但若把圆周分成无数小微元段，则每一小段可认为摩擦力方向不变，每一小段可用恒力做功公式计算，然后各段求和便得。
解：把圆轨道分成、、
……
，摩擦力在每一段做功分别为
、
……
，则摩擦力在一周内所做的功
。
结论：动摩擦力做功与路径有关，其计算公式为
（为物体运动路程）。
[例1] 从离地面H高处落下一只小球，小球在运动中所受的空气阻力是它重力的
倍，而小球与地面相碰后能以相同大小的速率反弹，求小球从释放至停止所通过的总路程。
解析：小球与地面相碰后能以相同大小的速率反弹，说明小球与地面碰撞时无机械能损失。从小球自由释放到停止的全过程中重力做功为
（重力做功与路径无关）。
空气阻力随时与速度方向相反，因而做的功为
（为小球运行路程）
根据动能定理
得
，即
得
说明：此题还可分段求解，最终利用数列求和，但利用全程求解更为简洁。
（二）动摩擦力做功与“路径无关”
原型：一个物体以一定的初速度沿水平面由A点滑到B点，物体克服摩擦力做功为
；若该物体从
沿两斜面滑到
，物体克服摩擦力做的总功为
，如图2所示，已知物体与各接触面间的动摩擦因数均相同，则（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 无法确定
图2
错解：此题中分别给出两种不同情况下物体的运动，比较可得第2种情况下物体所受的摩擦力较小但运动路程又长，因此许多同学会主观地认为无法确定，而错选答案D。
正解：设物体与各接触面的动摩擦因数均为，物体重为G，水平面AB长（两斜面的水平距离）为。则从A到B过程中，物体克服摩擦力做的功为
。
从沿两斜面滑到过程中（设最高点为C，且
，
），物体克服摩擦力做的功为
由此可得：虽然物体经过的路径不同，但克服摩擦力做的功相同。因而正确答案为A。
结论：无论物体沿水平面还是斜面滑动，在无其它外力影响正压力且动摩擦因数相同的情况下，物体克服动摩擦做功与路径“无关”，其功为
（为物体的水平位移）。
[例2] 如图3所示，DO是水平面，AB是斜面，初速为
的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零。如果斜面改为AC，让该物体从D点出发滑动到A时速度也刚好为零，则物体具有的初速度（已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相等且不为零）（ ）
A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 取决于斜面的倾角
图3
解：设斜面AB、AC与水平面间夹角分别为、
。物体沿DBA滑动时，合力做功
。同法可得当物体沿DCA滑动时，合力做功为
，即两次合力做功相等，根据动能定理可得，两次物体动能变化也相等，因此当物体沿DCA滑到顶端速度为零时，物体具有的初速度也等于，从而得正确答案B。
说明：动摩擦力做功仍按功的计算公式求解，只是在此种条件下动摩擦力做功好像与“路径无关”，而等于
（为物体的水平位移）罢了。
（三）动摩擦力做功与“速度有关”
原型：质量为的木块，与轨道间的摩擦因数为，试分别求出木块沿竖直圆轨道外侧滑到A点和沿圆轨道内侧滑到B点时受到的摩擦力大小（设圆轨道半径为R，滑到A点到B点的速度均为
，且OA和OB与竖直方向的夹角均为）。
解析：当木块滑到圆轨道外侧A点时，受力分析如图4-甲所示，则有
，当木块滑到圆轨道内侧B点时，受力分析如图4-乙所示，则有
。
图4-甲 图4-乙
结论：① 物体滑到竖直圆轨道外侧任一位置时，物体运行速度越大，所受摩擦力越小；② 物体滑到竖直圆轨道内侧任一位置时，物体运行速度越大，所受摩擦力越大。
[例3] 如图5所示，A、B是一段粗糙程度相同的凸凹形曲面，且A与B在同一水平面上，已知完全相同的甲、乙两物块，甲以速度从A滑到B时速度变为
，乙也以速度从B滑到A时速度变为
，则与的关系是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 无法判定
图5
解：由于摩擦，在外轨道上滑行时物块甲的速度大于乙速度，其上任一位置物块受到的摩擦力
，即一定时速度小者摩擦力大，因此在外轨道上运行时乙受的摩擦力大于甲受的摩擦力。
在内轨道上滑行时物块乙的速度大于甲的速度，其上任一位置物块所受的摩擦力
。即一定时速度大者摩擦力大，因此在内轨道上运行时仍是乙受的摩擦力大，所以在全程中乙所受摩擦力均大于甲所受的摩擦力。
无论甲从A滑到B还是乙从B滑到A，甲、乙两物块的重力的功均为零，而物块乙从B运行到A时，克服摩擦力做的功多，所以乙后来的速度小于甲后来的速度，从而选择答案B。
说明：在圆周运动中的动摩擦力做功之所以与速度有关是因为动摩擦力正比于正压力，而正压力又与向心力有关。
四. 有关功率的计算
功率是中学物理中的一个重要概念，它描述某个物体（或某个力）做功快慢情况，功率的定义式为
，该式既适用于恒力做功，也适用于变力做功。用此式求出的功率是指力在时间
内的平均功率。功率的推导式为
，此公式对恒力或变力做功的问题均适用。若F为恒力，为某时刻的速度，则P为恒力F在该时刻的瞬时功率；若F为恒力，为某段时间内的平均速度，则P为F在这段时间内的平均功率；若F为变力，为某时刻的速度，则P为变力F在该时刻的瞬时功率，下面以实例讨论求解功率的方法。
（一）求瞬时功率
瞬时功率是指物体（或某个力）在某时刻的功率。瞬时功率一般用推导式求解，其中，是指该时刻力作用点的瞬时速度，是指力F与速度间的夹角。
[例1] 设汽车行驶时所受阻力与它的速率成正比，如果汽车以的速度匀速行驶时，发动机的功率为P。当汽车以
的速率匀速行驶时，汽车发动机的功率为（ ）
A. P B. 2P C. 3P D. 4P
分析：这是一个变力做功的问题。由题意知汽车以速度匀速行驶时，汽车的牵引力为
，此时汽车的功率为
①
当汽车以的速率匀速行驶时，汽车的牵引力变为
，此时汽车的功率变为
②
结合①②两式可得
[例2] 如图1所示，用F=20N的力使重物G由静止开始，以0.2m/s2的加速度提升，则第5s末力F的功率为多大？
图1
分析：这是一个恒力做功的问题，在第5s末物体的速度为
此时力F的作用点A的瞬时速度为
，所以在第5s末力F的功率为
。
（二）求平均功率
平均功率能粗略地描述力在某一段时间内做功的快慢程度。求平均功率有两条途径：其一，用定义式计算；其二，用推导式计算。
[例3] 跳绳是一种健身运动。设某运动员的质量是50kg，他1分钟跳绳180次，假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的
，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率为多大？（
取
）
分析：运动员跳绳一次需时
运动员跳离地面的时间
则运动员上跳的时间
运动员跳绳上升的高度
则运动员跳绳一次需克服重力做功：
所以该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率为
。
[例4] 在光滑水平面上静止着一个物体，现有一水平力F作用在该物体上，使物体从静止开始做匀加速直线运动。在物体的速度达到的过程中，力F的功率为多大？
分析：设物体的平均速度为
，由运动学公式得
，则力F在这段时间内的平均功率为
。
（三）求某个力的功率
功率是描述某个力做功快慢的物理量，既可能是某个力的功率，也可能是合力的功率。在计算中务必弄清要求哪个力的功率。
[例5] 一质量为的物体，在几个共点力的作用下静止在光滑的水平桌面上，现把其中一个水平方向的力F突然增大到3F，保持其他力不变，则在
末该力的功率为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
分析：由题意可知，题中要求的是3F这个力在末的瞬时功率。
对物体应用牛顿第二定律得
在末物体的速度为
由功率推导式
得
所以选项B正确
（四）求曲线运动中的功率
当物体做曲线运动时，应用推导式求功率要注意角的意义，它是指力
与速度间的夹角。
[例6] 一质量为
的物体以初速度
做平抛运动。则在第1.0s末重力的瞬时功率为多大？（取）
分析：在第
末物体的竖直分速度为
由图2可知
所以重力在第末的瞬时功率为
图2
（五）求流体的功率
流体在撞击物体时做功。求流体做功的功率时，关键是建立物理模型，也就是说如何选取研究对象是解题的关键。
[例7] 某地强风的风速约为
，设空气密度
。如果把通过横截面积为S=20m2的风的动能全部转化为电能，则利用上述已知量计算电功率的公式应为P=
，大小约为 W。（取一位有效数字）
分析：取内作用到横截面积为S的面积上的空气流为研究对象，如图3所示。则这部分空气流的质量为
空气流的动能为
则电功率为
代入数据解得
图3
五. 用动能定理对全程列式求解：
动能定理是针对状态量变化的定理，状态量的变化只取决于始末状态，不涉及中间状态，所以对有些全过程都适用该规律的题，可一次性列出方程直接求得结果，从而大大简化解题过程和数学运算。
[例1] 如图1所示，斜面长为，倾角为，一物体质量为，以初速度从斜面底端A沿斜面向上滑行，斜面与物体间动摩擦因数为，物体滑到斜面顶端B飞出斜面，最后落到与A同一高度的地面上C处，求物体落地速度大小
。
图1
解析：该物体的运动过程可分为两个阶段，第一个阶段是在斜面上做匀减速运动，利用牛顿运动定律和运动学公式，或者运用动能定理都可以求出物体在斜面顶端B处的速度；第二阶段物体做斜抛运动，只有重力做功，可应用机械能守恒定律求出物体落地时速度。物体在B处的速度
是两个运动阶段的衔接点，按照上述分析方法，就是一个非常关键的量。
我们能不能换一个角度用全过程来考虑物体的运动呢？尽管物体在前后两个阶段运动形式不同，我们还是可以全过程来考虑，物体从
，重力做的总功为零（因为A、C等高），只有斜面的摩擦力做负功，因此可以全过程应用动能定理，直接求出
，而不必求出中间状态量，则
解得
[例2] 如图2所示，物体离斜面底端4m处由静止滑下，斜面倾角为
，斜面与平面之间由一小段圆弧连接，若物体与各处的动摩擦因数均为0.5，求物体能在水平面上滑行多远？
图2
解析：
方法一：物体在斜面上受重力，支持力
，摩擦
的作用，则沿斜面将加速下滑（因为
），到达水平面后，在摩擦力
作用下，做减速运动，直至停止。对物体在斜面和在平面两种情况下受力分析如图3。
图3
因为
所以
由动能定理有
①
在水平运动过程中
由动能定理有
②
由此可解得
方法二：物体受力分析同上，物体运动的全过程中，初、末状态速度均为零，对全程应用动能定理，有
得
【模拟试题】
（答题时间：60分钟）
一. 选择题：
1. 比较力F在下列几种情况下做功的多少（ ）
（1）用水平推力F推质量为的物体在光滑水平面上前进了
（2）用水平推力F推质量为
的物体沿动摩擦因数为的水平面前进了
（3）斜面倾角为，与斜面平行的推力F，推一个质量为的物体沿光滑斜面向上前进了
A.（3）做功最多 B.（2）做功最多
C. 做功相等 D. 不能确定
2. 如图1所示，一个物体放在水平面上，在与竖直方向成角的斜向下的推力F的作用下沿平面移动了距离，若物体的质量为，物体与地面之间的动摩擦因数为，则在此过程中（ ）
A. 摩擦力做的功为
B. 力F做的功为
C. 力F做的功为
D. 重力做的功为
图1
3. 如图2，物体A和B叠放在光滑水平面上，
，
，在B上作用一个3N的水平拉力，A、B一起前进了4m，如图2所示，在这个过程中B对A做的功（ ）
A. 4J B. 12J C. 0 D. 
J
图2
4. 关于功率，以下说法中正确的是（ ）
A. 据可知，机器做功越多，其功率就越大
B. 据可知，汽车牵引力一定与速度成反比
C. 据可知，只要知道时间内机器所做的功，就可以求得这段时间内任一时刻机器做功的功率
D. 根据可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比
5. 在高为H的平台上以初速度抛出一质量为的小球，不计空气阻力，当它到达离抛出点的竖直距离为
的位置时，小球的动能增量为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 质量为
的汽车发动机的额定功率为80kW，若汽车在平直公路上行驶所受阻力大小恒为
，那么（ ）
A. 汽车在公路上以额定功率行驶的最大行驶速度为
B. 汽车以额定功率起动，当汽车速度为
时，加速度为
C. 汽车以
的加速度起动做匀加速运动，第
末发动机实际功率为
D. 汽车以的加速度起动做匀加速运动，匀加速运动所能维持的时间为
二. 填空题：
7. 上海外滩气象信号台需要整体移位，施工人员将信号台与地面脱离后，在地面上铺上石英砂，用4个液压机水平顶推。已知信号台质量为
，假设信号台所受摩擦力为重力的0.2倍，信号台做的是匀速直线运动，每台液压机的推力相同，那么每台液压机对信号台的推力为
N；若顶推的位移是14m，则每台液压机对信号台做的功是
J。（
）
8. 一个物体在空中自由落下，它在末、
末时的动能之比为 。
9. 一个质量为的物体自倾角为的光滑斜面顶端由静止开始滑下，当它沿斜面滑下一段距离时的动能为
。
10. 起重机在内将
的货物由静止开始匀加速提升10m高，若取，则起重机应具备的功率最小为 
。
11. 一颗子弹速度为时，刚好打穿一块钢板，那么速度为时，可打穿
块同样的钢板，要打穿
块同样的钢板，子弹速度应为
。
12. 质量为的跳水运动员在高为H的跳台上以速率起跳，落水时速率为，运动中有空气阻力。那么，运动员起跳时做的功是
，在空气中克服空气阻力所做的功是
。
三. 解答题：
13. 质量
的物体，与水平地面间的动摩擦因数=0.4，求下列两种情况下需对它做多少功（取）：
（1）使物体沿水平地面以加速度
移动10m
（2）使物体竖直向上以加速度
升高10m
14. 质量为1kg的物体在大小为4N的水平拉力作用下沿粗糙水平面向前运动，前进1m后撤去拉力，物体继续向前滑行3m后停止运动。求物体与地面间的动摩擦因数，取。
15. 质量
的汽车从静止出发，以的加速度沿水平直路做匀加速运动，汽车所受的阻力等于车重的0.06倍，求汽车在前
内的平均功率和第末的瞬时功率。取。
【试题答案】
1. C 2. C 3. A 4. D 5. D 6. ABCD 7. 
；
8. 
9. 
10.
86.4 11. 4；
12. 
，
13.（1）1000J （2）
J
14. 
15. 
；