08届高考数学第一次模拟考试试题

08届高考数学第一次模拟考试试题

 （命题人 杨帆）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分150分，考试用时120分钟。

☆祝你考试顺利☆

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答题卷上。

1．（理）复数 ＝

（A）0　　　　　　　　　　 （B） 　　　（C）1　　 　　　 （D）

（文）若集合A＝｛x∣2｝，B＝｛x∣x²－3x＝0｝，则集合AB＝

（A）｛3｝　　　　（B）｛0｝　　 （C）｛0，2｝　 　 （D）｛0，3｝

2．函数 y＝（x0）的反函数是

（A）y＝（x）　　　 （B）y＝－（x）

（C）y＝（x0）　　　　　（D）y＝－（x0）

3．sin15°cos165°的值是

（A）　　  　　　 （B）　 　（C）－　　  　 （D）－

4．椭圆与双曲线 －y²＝1有共同的焦点，一条准线的方程是x＝3，则此椭圆的方程为

（A）　（B）　（C）　　（D）

5．函数的图像如左图：则函数的图像可能是

6．已知直线l平面α，直线m平面β，有如下四个命题：

①若αβ，则lm；　　　　② 若α β，则lm；

③ 若lm，则αβ；④ 若lm，则αβ．其中正确的两个命题是

（A）①与②　　　　　 （B）①与③　　 （C）②与④　　　　（D）③与④

7．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃+a₁₇=10，则S₁₉的值是

（A）55　　 　（B）95　　　　　　　（C）100　　　　　　　（D）190

8．定义运算=. 将函数的图像向左平移φ（φ＞0）个单位,所得图像对应的函数为偶函数，则φ的最小值为

（A）　　　　　　　　 （B）　　　　　　　　 （C）　　　　　　　（D）

9．已知向量平行，则x等于　　　　　　　　　　

（A）－6　　　　　　　　（B）6 　　（C）－4　　　　　　　　　　　　（D）4

10．（理）设是随机变量,且,则等于　(　 )

（A） 0.4　　　　（B）　 4　　　　  （C）　40　　　（D） 400

（文）函数的值域是

(A)R　　　(B)［8，＋(C)（－∞，－3　(D)［－3，＋∞　

11. 如果一个三位正整数的中间一个数字比另两个数字小，如305，414，879等，则称这个三位数为“凹数”，那么所有“凹数”的个数是

(A)240　　　　　 (B)285　　　　　　(C)729　　　　　　(D)920

12、与抛物线x²＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是

（A）（1，0）　　　　（B）（，0）　　 （C）（－1，0）　　　 （D）（0，）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸题中的横线上．

13．W国参加2008奥运会有男运动员56人，女运动员42人．比赛后立即用分层抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查．女运动员应分别抽取 　人。

14．在条件 下，函数z＝－2x＋y 的最大值是　　　　　　　　 。

15．若的展开式的第四项是常数项，则为＝　　　　　 。

16．（理）设函数，则是的导数，则＝_______。

（文）已知正方体的表面积为18，则正方体的外接球的体积等于　　　　。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

乌鲁木齐市高级中学的成功同学到甲、乙、丙三所高校参加自主招生考试，各高校是否录取他相互独立。成功同学被甲、乙、丙三所高校录取的概率分别为。（假设允许成功同学可以被多所高校同时录取）

（Ⅰ）求成功同学没有被录取的概率；

（Ⅱ）（理）求录取成功同学的高校数ξ的分布列和数学期望。

（文）成功同学被几个高校同时录取的可能性最大？

18．（本小题满分12分）

在锐角ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为ABC的面积，且满足条件: 2sinB [ 1＋cos（－B）] ＋cos2B＝1＋．

（Ⅰ）求B的度数；

（Ⅱ）若a＝4，S＝5，求c和b的值。

19．（本小题满分12分）

如图，P—ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2, PA=

（Ⅰ）求证：PA⊥B₁D₁；

（Ⅱ）求平面PAD与平面BDD₁B₁所成的锐二面角θ的大小；

（Ⅲ）求B₁到平面PAD的距离。

20．（本小题满分12分）

如图，设、分别为椭圆： ()的左、右焦点.设椭圆C上的点 到F₁、F₂两点距离之和等于4。

（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；

（Ⅱ）若P（x，y）是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值。

21．（本小题满分12分）

两个二次函数与的图像有唯一的公共点，

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）（理）设，若在上是单调函数，求的范围。并说明函数是R上的单调递增函数还是单调递减函数。

（文）设，求在x∈[－1,2]上的最大值和最小值。

22．（本小题满分12分）

已知

　 （Ⅰ）求的表达式；

　 （Ⅱ）定义正数数列，证明：数列是等比数列；

　 （Ⅲ）(理)令。

 (文) 令成立的最小n值。

参考答案

一、选择题（批改 叶素英）

1．C(文B)　2.B  3.C　4.A　5.A　 6.B　7.B  8.C　9.C　10. A（文C） 11.B　 12.C

二、填空题（批改 叶素英）

13.　12　　　 14.　2　　 15.　21　　　16. （理）－3　（文）　

三、解答题

17（批改 林强）解：（Ⅰ）设成功同学没有被录取的概率为P₀，则P₀=..=　 …4分

　(Ⅱ) （文）设成功同学恰被一个高校录取的概率为P₁

P₁=＋＋＝ 　……6分

设成功同学恰被两个高校录取的概率为P₂

P₂=××+××+××=　 ……8分

设成功同学恰被三个高校录取的概率为P₃ P₃=＝ ……9分

∴成功同学恰被两个高校录取的可能性最大。……10分

(Ⅱ)（理）ξ可能取的值为0，1，2，3

P(ξ＝0)＝ ，P(ξ＝1)＝ ， P(ξ＝3)＝，

P(ξ＝2)＝1－－－＝，……7分

ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
p

　　　　　　  　　　　　　　　　　　 ………8分

Eξ=1×＋2×＋3×＝ ………10分

18（批改 林强）解：（Ⅰ）由已知得：2sinB·（1＋sinB）＋1－2sin²B＝1＋，………2分

化简整理，得：2sinB＝，sinB＝，………3分

∵三角形ABC是锐角三角形　 ∴ B＝60°………5分

（Ⅱ）∵ a＝4，S＝5，∴S＝ acsinB＝5，∴ c＝5；………8分

由b²＝4²＋5²－2·4·5·cos60°＝21，得b＝；………12分

19. （批改 杨帆）

解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系　（其他建系亦可）…2分

（Ⅰ）设E是BD的中点，P—ABCD是正四棱锥，∴

 又， ∴　∴　………4分

∴ 　　 ∴ 　　　即 …6分

（Ⅱ）设平面PAD的法向量是，　

 ∴ 　 取得，　………8分

又平面的法向量是

∴ 　　 ∴…10分

（Ⅲ）　

∴到平面PAD的距离 ………12分

（其他解法酌情给分）

20. （批改唐惠玲）

（Ⅰ），.  ，.…分

椭圆的方程为，………4分　 因为. 所以离心率.………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）易知　 …………8分

∵P（x，y），则　 （*）

＝　 ………………10分

，

∴，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值2；

当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值3 ……12分

（Ⅱ）法二：还可以从（*）处用三角代换法求解

∵　∴x＝2sinθ，y＝cosθ

＝4sin²θ＋3cos²θ－1＝sin²θ＋2………10分

∴sin²θ＝0，即x＝0时，有最小值2

sin²θ＝1，即时，有最大值3。………………12分

21. （批改 杨华）解：（Ⅰ）由已知得 化简得 ……………2分

且 即有唯一解　 …3分

所以 即　　　　　　……5分

消去得 ，解得　　　　 …………6分

　 （Ⅱ）（理），　 ∴

　　……7分

　　　　　　　　　………8分

若在上为单调函数，则在上恒有或成立。……9分

因为的图象是开口向下的抛物线，所以时在上为减函数，10分

所以，解得 即时，在上为减函数。 12分

或恒成立，＝2 即时，在上为减函数。 12分

（Ⅱ）（文）由（Ⅰ），

∴

∴　　∴

x	－1	（－1， 1）		1	（1，2）	2
				0
	16	递减		0	递增	－2

令＝0，则x＝1

列表如右

∴的最大值为16，最小值为0。

22. （批改 朱永红）

解：（Ⅰ）为奇函数

则　 ∴…2分　　

又　　　  ………4分

 （Ⅱ）

　　 　　（常数）

∴数列是以2为首项， ………8分

 （Ⅲ）（理）　∴　b₁＝2， 公比q＝

 ………10分

∴　＝＝4　　………12分

（文）　∴b₁＝2，公比q＝

　 ………10分　　　 又　

　∴满足 ………12分